专题2.9 基本不等式-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

2.9 基本不等式 1．基本不等式 对于任意实数 和 ， 总是成立的，即 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立. 设 ， ，取 ， ，代入上述不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立. 这个不等式称为基本不等式，其中， 叫做 ， 的算术平均数， 叫做 ， 的几何平均数． 因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 下面给出它的几种解释： 代数法（作差证明）： 因为 ，当且仅当 时， ， 所以 ，等且仅当 时，等号成立． 几何解释： 为圆 的直径，点 在 上， ， ，过 作 的垂线，交 于 ，连接 ， ， ． 显然， ，而 ， 因为 ，所以 ． 显然，当且仅当点 与圆心重合，即当 时，上述不等式的等号成立． 【例1】已知 ，求 的最小值． 分析：求 的最小值，就是要求一个 ( )，使 ，都有 ．观察 ，发现狓 ．联系基本不等式，可以利用正数 和 的算术平均数与几何平均数的关系得到 ． 【解题反思】在本题的解答中，我们不仅明确了 ，都有 ，而且给出了“当且仅当 ，即 ， 时，等号成立”，这是为了说明2是 （ ）的一个取值． 想一想，当 时， 成立吗？这时能说 是 ( )的最小值吗？ 【例2】已知 ， 都是正数，求证： （1）如果积 等于定值 ，那么当 时，和 有最小值 ； （2）如果和 等于定值 ，那么当 时，积 有最大值 ． ※ 当堂检测 变式1．已知 ， ，求证： ． 变式2．已知 ， 都是正数， ，求证： （1） ； （2） ． 变式3．当 取什么值时， 取得最小值？最小值是多少？ 【Tips】已知x，y都是正数， (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值． 注意：应用基本不等式 求最值的条件：（1）一正：a与b为正实数；（2）二定：积定和最小，和定积最大；（3）三相等：若等号成立，a与b必须能够相等． 2．基本不等式的拓展应用 【例3】（1）已知 ，求 的最小值； （2）已知： ，求函数 的最大值； （3）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值．＋ 分析：(1)对 进行拆、凑，变成 ，使其满足基本不等式求最值的条件，即积为定值． （2）利用 为定值和为定值处理，或直接利用二次函数求最值． （3）有两种方法：法一：利用“1”的代换进行变形，创造使用基本不等式的条件， 法二：将x、y消去一个变量，构造成能使用基本不等式的形式． 变式1．已知x<的最大值．，求函数y＝4x－2＋ 变式2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求的最小值．＋ 变式3． (1)已知t>0，则函数y＝的最小值为________． (2)已知x，y∈R*，且满足＝1，则xy的最大值为________．＋ 变式4．已知x≥有(　　)，则f(x)＝ A．最大值 C．最大值1 D．最小值1 B．最小值 【例4】已知a，b，c都是实数．求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac. 变式1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2≥2＋ D.>＋ C. 变式2．已知a、b、c为正数，a＋b＋c＝1，且不全相等，求证：>9.＋＋ 变式3．若 、 EMBED Equation.3 ， ，求证： ． 【例5】设a、b∈(0，＋∞)，试比较的大小．，，， 3．基本不等式的实际应用 【例6】（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？ （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 分析：（1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：知 ，求 ； （2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：知 ，求 ． 【例7】 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 ，深为3 ．如果池底每平方米的造价为150元， 池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 分析：贮水池呈长方体形，它的高是3 ，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低． 变式1．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，面粉的价格为1 800元/吨，面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元． (1)该厂每隔多少天购