专题3.1 函数及其表示-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

3.1 函数及其表示 回顾过去 初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数. 在初中，我们学过一些函数，如 ， ， 等， 思考： （1） 是函数吗? （2） 与 是同一个函数吗？ 1．函数的概念 观察下面三个例子： （1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h＝130t-5t2. 这里时间t的变化范围是A＝{t|0≤t≤26}，炮弹距离地面的高度的取值范围是B＝{h|0≤h≤845} 思考1：高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ （2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况. 这里时间t的变化范围A＝{t|1979≤t≤2001}；臭氧层空洞面积S的变化范围是B＝{s|0≤s≤26} 思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？ （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况. 思考：如何利用（1）（2）描述第三个例子中变量之间的关系？ 共同特点：对于数集A中的每一个 ，按照某种对应关系 ，在数集B中都有唯一确定的 值与其对应，记作： ： . 1.1 函数的概念 如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作 ， ． 其中， 叫做自变量， 的取值范围A叫做函数的定义域； 与 的值相对应的 的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域． 思考1： ______ ． 思考2：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？ 思考3：（1） 是函数吗? （2） 与 是同一个函数吗？ 思考4： 函数吗? 1.2 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体：定义域 ； 值域{ ； 对应法则 . 【例1】 以下关系式表示函数吗?为什么? (1) ； (2) ． 练习1：下列可作为函数y= f (x)的图象的是（ ） 【例2】已知函数 ， （1）求函数 的定义域；（2）求 ， ；（3）当 时，求 ， 的值 特别注意： 是常量，而 是变量， 只是 中一个特殊值． 练习1：已知函数 试求 ， ， ， ， ． 1.3 对函数符号 的理解 与 的含义是一样的，它们都表示 是 的函数，其中 是自变量， 是函数值，连接的纽带是法则 ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体． 函数符号 表示 是 的函数， 不是表示 与 的乘积； 1.4 相同函数 当两个函数的定义域、对应法则全部相同（值域当然相同）时，称这两个函数相同． 【例3】下列各函数中，哪一个函数与 是同一个函数． (1) ； (2) (3) ； (4) ． 练习1：判断下列两个函数是否为同一个函数？为什么？ （5） 和 1.5 区间的概念 设 ， 是两个实数，而且 , 我们规定： （1）满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，表示为 ； （2）满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，表示为 ； （3）满足不等式 或 的实数 的集合叫做半开半闭区间，表示为 或 ． 这里的实数 与 都叫做相应区间的端点． 实数集 可以用区间表示为 ，“∞”读作“无穷大” 满足 的实数的集合表示为 ；满足 的实数的集合表示为___________； 满足 的实数的集合表示为 ；满足 的实数的集合表示为___________． 【例4】用区间表示下列集合 （1） （2） （3） （4） A 组 1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是(　　) 2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是(　　) A．M＝A，N B．M⊆A，N＝B C．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B 3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点(　　) A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个 D．可能两个以上 4．已知函数 ， 若f(a)＝3，则a的值为(　　) A. D．以上均不对