专题3.3 函数的奇偶性-2019版初高中数学衔接工具书【2019原创资源大赛】

3.3 函数的奇偶性 回顾过去 在初中我们学过对称图形，观察生活中的一些图片，它们有什么特点？ 画出 ， 的图象，思考并讨论以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）相应的两个函数值 对应的值是如何体现这些特征的？ 实际上，对于定义域内任意的一个 ，都有 都成立吗？ 答案是显然的， ， ． 1．偶函数 (even function) 一般地，对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 ，那么 就叫做偶函数． 例如，函数 ， 都是偶函数． 2．奇函数(odd function) 观察函数 和 的图象，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ 一般地，对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 ，那么 就叫做奇函数． 注意事项： （1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质． （2）定义域关于原点对称． （3）两个性质：①一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称； ②一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称． （4）如果一个函数 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 具有奇偶性. （5）奇函数若在 处有定义，则 【例1】判断 的奇偶性，根据 在 轴右侧的图象，画出它在 轴左侧的图象． 练习1：函数 是偶函数，它在 轴右边的图象如上图，画出在 轴左边的图象. 【例2】判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） 小结：用定义判断函数奇偶性的步骤： （1）先求定义域，看是否关于原点对称； （2）再判断 或 是否恒成立； （3）下结论：① EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 为奇函数； ② EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 为偶函数； ③ 且 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 既为奇函数又为偶函数； ④ 且 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 非奇非偶函数． 练习1：判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【例3】已知函数 ，判断 的奇偶性． 提示：分段函数的奇偶性要对每一段分别判断． 练习1：判断 的奇偶性． 3．奇偶性的应用 3.1 利用函数奇偶性求函数解析式 【例4】若 是定义在 上的奇函数，当 时， ，求函数 的解析式． 【思路点拨】　解答本题可将 的解析式转化到 上求解． 说明：此类问题的一般做法是： ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式， 就设在哪个区间内． ②要利用已知区间的解析式进行代入． ③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 练习：若将题设中的“ 是奇函数”改为“ 是偶函数， ”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？ 3.2 利用函数奇偶性求参数的值 【例5】若函数 是偶函数，定义域为 ，则 _____， ______． 练习：已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，求 的解析式． 3.3函数的奇偶性与单调性的综合应用 （1）若 是奇函数，则 在其关于原点对称的区间上单调性一致； （2）若 是偶函数，则 在其关于原点对称的区间上单调性相反. 【例6】若 是定义在R上的奇函数，且在 上是增函数，求证： 在 上是增函数. 分析：证明函数的单调性，一般是根据定义来证明，本题由于已知函数在 上是增函数，因而应设法将问题转化为已知来证明． 练习：本例中，若 是偶函数，其他条件不变，则结论又是什么？ 【例7】定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围． 分析：　→→→ 说明：本题易丢掉函数的定义域 而出错． 练习1：设定义在 上的偶函数 ，当 时， 单调递减，若 成立，求 的取值范围． 分析：如果对 进行分类讨论，此题的解答会比较复杂．可以偶函数的性质，对于此题而言，当自变量 距离远点近时，其函数值增大． 练习2：奇函数 )是定义在 上的减函数，且 ，求实数 的取值范围. 练习3： 是定义在 上的偶函数，且在 上递增.若 ，求实数 的取值范围. 说明：在使用偶函数的对称性时，可以参考二次函数的性质． 3.4利用函数奇偶性求函数值 （1）奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数，若f(x0)＝M，则f(－x0)＝－M； （2）偶