专题15 导数的应用（1）-研究函数的单调性-2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练

2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练 15 导数的应用（1）-研究函数的单调性 一、考点传真： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)； 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) 3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 4.会利用导数解决某些简单的实际问题. 二、知识的梳理： 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. [微点提醒] 1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 三、例题： 例1.（2019全国卷Ⅲ）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）是否存在实数，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由. 例2.(2018全国卷Ⅰ)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个极值点，证明：． 例3.(2018天津高考)已知函数，，其中． (1)求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明； (3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线． 例4.(2016年北京高考)设函数，曲线在点处的切线方程为， （I）求，的值； （II）求的单调区间. 例5.（2015四川高考）如果函数在区间单调递减，那么的最大值为 A．16 B．18 C．25 D． 四、巩固练习： 1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　) 2.函数f(x)＝x·ex－ex＋1的单调递增区间是(　　) A.(－∞，e) B.(1，e) C.(e，＋∞) D.(e－1，＋∞) 3. 若函数在上递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.已知f(x)＝，则(　　) A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2) C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2) 5.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞) 6. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f<2f(1)的解集为(　　) A.(e，＋∞) B.(0，e) C.∪(1，e) D. 8.已知函数在R上满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9.已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________. 10.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是______