专题16 导数的应用（2）-研究函数的极值与最值-2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练

2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练 16 导数的应用（2）-研究函数的极值与最值 一、考点传真： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)； 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) 3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 4.会利用导数解决某些简单的实际问题. 二、知识的梳理： 1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. [微点提醒] 1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 三、例题： 例1. （2019江苏高考）设函数、为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 例2.(2018全国卷Ⅲ)已知函数． (1)若，证明：当时，；当时，； (2)若是的极大值点，求． 例3.(2018北京高考)设函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求； (2)若在处取得极小值，求的取值范围． 例4.（2017新课标Ⅲ）已知函数． (1)若，求的值； (2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值． 例5. （2017新课标Ⅱ）若是函数的极值点，则 的极小值为 A． B． C． D．1 四、巩固练习： 1.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 2.已知函数f(x)＝ln x. (1)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围. 3.已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数. (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值. 4.设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列. (1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若d＝3，求f(x)的极值. 5.设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x(常数a>0). (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围. 6.已知函数f(x)=2tln x-ln2x+,h(x)=e2x-2tex+2t2. (1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线x+2y-3=0垂直,求t的值; (2)讨论h(x)在R上的单调性; (3)∀t∈R,x>0,总有h(x)>f(x)成立,求正整数m的最大值. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练 16 导数的应用（2）-研究函数的极值与最值 一、考点传真： 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数