专题07 函数的奇偶性与周期性-2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练

2020年高考数学（理）集合与函数突破性讲练 07 函数的奇偶性与周期性 一、考点传真： 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性； 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 二、知识的梳理： 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [微点提醒] 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 三、例题： 例1. （2019全国卷Ⅲ）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则 A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（） C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3） 例2. （2019全国卷Ⅱ）已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 例3.（2019全国卷Ⅰ）函数f(x)=在的图像大致为 A． B． C． D． 例4. (2018全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足． 若，则 A． B．0 C．2 D．50 例5. （2017全国卷Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足 的的取值范围是 A． B． C． D． 例6．（2017天津高考）已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 四、巩固练习 1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是(　　) A.y＝|log3x| B.y＝x3 C.y＝e|x| D.y＝cos |x| 2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝ 则g(－8)＝(　　) A.－2 B.－3 C.2 D.3 3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于(　　) A.－2 B.2 C.－98 D.98 4. 已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（ ） A、-12 B、-16 C、-20 D、0 5. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．－2 6.已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为(　　) A.{x|0<x<1或x>2} B.{x|x<0或x>2} C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<－1或x>1} 7.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　) A．ex－e－x B.(ex＋e－x) C.(e－x－ex) D.(ex－e－x) 8. 已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 9.若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________. 10.若函数f(x)是定义在