2019浙大优学全国高中数学竞赛春季期中卷·一试

2019 浙大优学高中数学竞赛春季期末卷一试答案 1. 2 解析：由题意知     2f x g x b  ，即 2 log 2 2 a ax b a x    对定义域内的任意 x 成立， 故 2 2 ax a x   为常数，设   2 0 2 ax t t a x     ，化简得  0 2 2ta t a x    对定义域内的 任意 x 成立。可知 2 2 0ta t a    ，解得 2a  ，此时 0b  ，故 2a b  2. 4p  解析：由柯西不等式：   2 2 2 1 1 sin cos p p x x    ，故有   2 1 9, 4p p   3. 2 ,1 3       解析： AP AG GP  ，易知有   1 3 AG AB AC  ，令GP aGB bGC      2 2 3 3 a b b a a AB AG b AC AG AB AC         ，且有  0,1a b  故可知 AP AG GP   2 1 2 1 3 3 a b b a AB AC      ，比较系数知 2 2 ,1 3 3 a b             4.2016 解析：注意到       2 2 2 22 2 11 1 1 1 1 i i i i i i        ，则     2 22 1 1 1 1 11 i i i i ii       1 1 1 1i i     ，故  2016 1 1 1 1 1 2016 1 2016 1 2017i S i i                      5. 3 解析：由 1 tan tan tan tan  B C A C 可知， 2sin sin sin cos C A B C  ，由正弦定理 2 cosc ab C ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 1 1 3 cos a b a b c ab C c c ab C         6. 16 3 解析：设甲乙两人玩的局数的数学期望为 x 。易知在前两局中，两人分出胜负的 1 浙大优学 概率为 3 8 ，未分胜负的概率为 5 8 ，且当未分胜负时，还需进行游戏局数的数学期 望为 x，故有   3 5 2 2 8 8 x x     ，得 16 3 x  7. 72 3 解析：考虑半径为 1 的小球的外切正四面体，易知其边长为2 6 。则小球永远不 可能接触到的容器内壁面积      2 2 3 4 6 2 6 72 3S     8. 9 解析：设        1 1 2 2 3 3 4 4, , , , , , ,A x y B x y C x y D x y ，且 A, B, C, D 四点共线，则 0 BDAC 等价于 1 2 3 4x x x x   。联立直线 l 与椭圆方程，可得：  2 2 23 4 8 4 48 0k x kmx m     ，由韦达定理可知： 1 2 2 8 3 4 km x x k     同理可得： 3 4 2 2 3 km x x k    ，则由 1 2 3 4x x x x   可知， 0 0k m 或 或 2 2 4 1 3 4 3k k    。 （1） 0k  时，易知 0 1 2, 3m    ， ， 满足题意 （2） 0m  时，易知 0 1k  ， 时满足题意 （3） 2 2 8 2 3 4 -3k k   时，无正整数解 综上可知，共有 9 条满足题意的直线 l。 9.解析：    1 2 3 1 2 12 15( 1)n n n n n nS S S S S S n n            ，等价于 1 2 3 12 15( 1)n n na a a n n       ，同时    1 2 3 1 2 12( 1)n n n n n na a a a a a n           ，故 3 12( 1)n na a n    ，由 1 2 31, 5, 15 5 1 9a a a     