专题07 立体几何（2）-2010-2019学年高考新课标全国I卷数学（文）真题分类汇编

专题7：立体几何（2） 立体几何大题：10年10考，每年1题．第1小题多为证明垂直问题，第2小题多为体积计算问题（2014年是求高）． 1．（2019年）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离． 2．（2018年）如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积． 3．（2017年）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积． 4．（2016年）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G． （1）证明：G是AB的中点； （2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积． 5．（2015年）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （1）证明：平面AEC⊥平面BED； （2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积． 6．（2014年）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C． （1）证明：B1C⊥AB； （2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高． 7．（2013年）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60° （1）证明：AB⊥A1C； （2）若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． 8．（2012年）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点． （1）证明：平面BDC1⊥平面BDC （2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 9．（2011年）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD． （1）证明：PA⊥BD； （2）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高． 10．（2010年）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高． （1）证明：平面PAC⊥平面PBD； （2）若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题7：立体几何（2） 立体几何大题：10年10考，每年1题．第1小题多为证明垂直问题，第2小题多为体积计算问题（2014年是求高）． 1．（2019年）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离． 【解析】（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点， ∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝A1D， 由题设知A1B1 DC，∴B1C A1D，∴ME ND， ∴四边形MNDE是平行四边形， ∴MN∥ED， 又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE． （2）过C作C1E的垂线，垂足为H， 由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C， ∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH， ∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离， 由已知可得CE＝1，CC1＝4， ∴C1E＝，故CH＝， ∴点C到平面C1DE的距离为． 2．（2018年）如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积． 【解析】（1）∵在平行四边形ABCM中，∠ACM＝90°，∴AB⊥AC， 又AB⊥DA．且AD∩AC＝A， ∴AB⊥面ADC，∵AB⊂面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC； （2）∵AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，∴AD＝AM＝， ∴BP＝DQ＝DA＝， 由（1）得DC⊥A