高中数学人教B版必修四2.3.1向量数量积的物理背景与定义课件（13张ppt） 教案 测试 (3份打包)

2.3.1向量数量积的物理背景与定义 具体要求： 1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算； 3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 为实现在整个学科课程价值中的作用，本课教材的教学突出向量的物理背景与几何背景，强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用，通过向量数量积的运算与数的乘法运算的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。 教学设计: 一、物理背景引入 引言：数学是一门高度抽象的学科，这也使得它的应用非常广泛。比如对物理中的矢量的研究就产生了数学中的向量，力的合成与分解就是向量的加法、减法和数乘运算。类比实数的运算，我们思考一个问题： 【问题1】两个向量能否相乘呢？ 思考：在物理中，大家遇到过两个矢量确一个量的问题吗？ 活动：学生思考回答问题。 [设计意图] 选择贴近学生实际生活的问题来展开探究，激活学生的已有相关经验，从物理背景迁移到数学概念中来，很容易引起学生的兴趣，感受数学来源于生活，又服务于生活。 二、物理背景分析 【问题2】物理上如何计算“功”？ 活动：学生回答问题。 如图所示，一个力 作用于一个物体，使该物体产生位移 ，由于力与位移的夹角为 ，力 所做的功为： 引导：功可以看作是力与位移进行某种运算的结果。 [设计意图] 因为学生已经有“功”的概念,这是平面向量的数量积的知识增长点。教师设置问题引导学生思考，并类比地定义操作性很强的向量夹角定义,达到水到渠成的效果。 探究1：影响功的大小有哪几个因素？ 活动：学生回答。 引导：计算公式涉及到力与位移的夹角，我们看两个向量夹角的定义： 已知两个非零向量 ，在平面任取一点 ，做 ， ，则 叫做两个向量 的夹角，记作 ，并规定 （在这个条件下，任意两个向量的夹角是确定的） 探究2：力作功的最大值及最小值是多少？ 活动：学生回答向量夹角的范围。 强调：寻找两个向量的夹角时要做到共起点。 即时练习.⑴当 同向时， ⑵当 反向时， ⑶当 垂直时， 规定： 。 ⑷正三角形 中， ， ， 活动：学生先独立思考，再个别回答。 [设计意图] 让学生温故知新,加深对功的认识,为平面向量的数量积的学习做好铺垫。从认知心理来看,当输入“数量积”这一概念,学生通过自身的内化、重组、操作和交流主动进行建构,是对原有“积”的 概念的改造过程。通过设计即时练习促使这一过程更自觉进行。 三、概念形成 力和位移是矢量，抽象为数学概念是向量。 【问题3】如果我们把功看作力和位移的一种运算，你能尝试定义两个向量的新运算？ 活动：学生回答。 定义： 叫做向量 的数量积（内积），记作 ，即 向量的数量积的结果与两个向量的模及它们的夹角有关。 剖析： ① 的符号；② 的运算结果；③ 的结构。 [设计意图] 把功看作力和位移的一种运算，让学生类比概括出数量积的定义。学生参与数量积概念的形成过程，使得概念成为在教师引导下，学生观察、归纳、概括之后的自然产物，突破本节课的难点。 四、概念应用 例1. ⑴已知 ， 是轴 的单位向量，若 ，求 ， . ⑵已知 ， ， ，求 . ⑶已知 ， ， ，求 . ⑷已知 ， ， ，求 ， . ⑸已知 ， ， ，求 . 活动：学生定时完成，师生共同核对答案。 [设计意图] 学会对新知识从不同角度进行探究,达到对知识的全面理解，对知识点强化到位，对思维方法发展到位，对知识的灵活运用到位，并为下一步提炼数量积的性质做好铺垫。 五、提炼性质 【问题4】通过以上一组练习，你能发现数量积有哪些性质？ 活动：学生先观察思考，再小组内讨论，最后小组代表回答问题。 数量积的性质. ① ② 思考：⑴ 或 ？ ⑵ 是个什么量？ ③ ，即 遇模平方 ④ ⑤ EMBED Equation.3 引导：计算公式从方程角度来研究，四个量，知三求一。 [设计意图] 数学学习的过程，是一个不断探究、不断总结的过程。学生合作探究提炼性质，充分体现学生的主体地位，使学生对知识有了一个系统的理解与认识，进一步强化本节课的重点。 六、概念的再认识 【问题5】物理学中功的另一种表述是：功是力与力的方向上的位移的乘积。请你研究数量积是否也有此性质？ 活动：师生共同探究。 引导：力的做功问题中 就是 在物体位移方向上的分力的数量。 1. 在 方向上的正射影. 2.数量积的几何意义：两个向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在它方向上的射影数量的乘积。 即时练习..⑴已知 ，