2.1.1 第2课时 映射与函数（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（人教B版必修1）

第2课时　映射与函数 [学习目标]　1.了解映射、一一映射的概念及表示方法.2.了解象与原象的概念.3.了解映射与函数的区别与联系. [知识链接] 函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A. [预习导引] 1.映射和一一映射的有关概念[来源:Z_xx_k.Com] 名称 定义 映射及有关概念 设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x).于是y＝f(x)，x称作y的原象.映射f也可以记为：f：A→B，x→f(x)，其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A). 一一映射 如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射. 2.映射与函数的关系[来源:Zxxk.Com] 映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射. 解决学生疑难点　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点一　映射的判断 例1　下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？ (1)A＝R，B＝R，f：x→y＝； (2)A＝{a|a＝n，n∈N＋}； B＝{b|b＝，n∈N＋}，f：a→b＝； (3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x； (4)A＝{x|x是平面M内的矩形}， B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆. 解　(1)当x＝－1时，y的值不存在， ∴不是映射，更不是函数. (2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素. (3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数. (4)是映射，但不是函数，因为A，B不是非空数集. 规律方法　按照映射定义可知，映射应满足存在性——集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性——集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素. 跟踪演练1　在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？ 解　在图(1)中，集合A中任一个数，通过“开平方”在B中有两个数与之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系. 图(2)中，元素6在B中没有象，则由A到B的对应关系不是映射，也不是函数关系. 图(3)中，集合A中任一个数，通过“2倍”的运算，在B中有且只有一个数与之对应，所以A到B的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系. 图(4)中，对A中的每一个数，通过平方运算在B中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集A到B之间的对应关系是函数关系. 要点二　映射个数问题 例2　已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求满足条件的映射的个数. 解　(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射； (2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2. (3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0. 因此满足条件的映射共有7个. 规律方法　对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论. 跟踪演练2　集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有(　　) A.3个B.4个C.5个D.6个 答案　B 解析　由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能. 要点三　映射的象与原象 例3　已知映射f：A→B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y). (1)求A中元素(5,5)的象； (2)求B中元素(5,5)的原象. 解　(1)当x＝5，y＝5时，x＋2y＋2＝17,4x＋y＝25. 故A中元素(5,5)的象是(17,25). (2)令B中元素(5,5)的原象为(x，y)， 则得 故B中元素(5,5)的原象是(1,1). 规律方法　1.解答此类问题：关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则. 2.一般已