2.1.3 函数的单调性（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（人教B版必修1）

2.1.3　函数的单调性 [学习目标]　1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点. [知识链接] 1.x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0； 2.当x＞2时，x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)＞0； 3.函数y＝x2－3x＋2的对称轴为x＝. [预习导引] 1.增函数与减函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间. 要点一　函数单调性的判定与证明 例1　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数. 证明　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， Δx＝x2－x1>0，有Δy＝f(x2)－f(x1)＝－ ＝＝. ∵x1<x2<0，∴x1－x2<0，x1＋x2<0，xx>0. ∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0.[来源:学科网ZXXK] ∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数. 对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 有f(x1)－f(x2)＝. ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，xx>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数. 规律方法　利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性. 跟踪演练1　已知函数f(x)＝，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数. 证明　任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2. 则f(x1)－f(x2)＝－＝. ∵x2＞x1＞－1， ∴x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数. 要点二　求函数的单调区间 例2　画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间. 解　y＝ 即y＝ 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞). 规律方法　1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确. 2.函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域. 3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接. 跟踪演练2　作出函数f(x)＝　的图象，并指出函数的单调区间. 解　f(x)＝　的图象如图所示. 由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).[来源:Zxxk.Com] 要点三　函数单调性的简单应用 例3　已知函数f(x)＝，x∈[2,5]. (1)判断该函数在区间[2,5]上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间[2,5]上的最大值与最小值. 解　(1)f(x)＝在区间[2,5]上是减函数.证明如下： 任意取x1，x2∈[2,5]且x1＜x2， 则f(x1)＝，f(x2)＝. f(x2)－f(x1)＝－＝. ∵2≤x1＜x2≤5， ∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1). ∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数. (2)由(1)可知f(x)＝在区间[2,5]上是递减的，故任意的x∈[2,5]均有f(5)≤f(x)≤f(2)， ∴f(x)max＝f(2)＝＝2， f(x)min＝f(5)＝＝. 规律方法　(1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). 跟踪演练3　已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的