2.1.4 函数的奇偶性（课件+word）-【创新设计】2019版同步课堂讲义数学（人教B版必修1）

2.1.4　函数的奇偶性 [学习目标]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题. [知识链接] 1.关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. 2.如图所示，它们分别是哪种对称的图形？ 答案　第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形. 3.观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ 答案　图象关于原点对称. [预习导引] 1.函数奇偶性的定义 (1)奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数. (2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数. 2.奇、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 解决学生疑难点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点一　判断函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数. (2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x>0时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数. 规律方法　判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性. 跟踪演练1　(1)下列函数为奇函数的是(　　) A.y＝|x| B.y＝3－x C.y＝ D.y＝－x2＋14 (2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数. (2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx. ∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 要点二　利用函数奇偶性研究函数的图象 例2　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________. 答案　(－2,0)∪(2,5) 解析　因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5). 规律方法　给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0). 跟踪演练2　设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是