2.1.2 第2课时 分段函数（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）新课标

第2课时　分段函数 学习目标　1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质． 知识点　分段函数 思考　设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对算不算函数？ 答案　算函数．因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应． 梳理　1.分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.(　×　) 2．分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　×　) 3．分段函数的图象一定是不连续的．(　×　) 类型一　建立分段函数模型 例1　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象． 解　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. (1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2； (2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2； (3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2 ＝－(x－7)2＋10. 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 y＝ 图象如图所示： 反思与感悟　当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． 跟踪训练1　某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 解　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式为y＝ 函数图象如图所示： 类型二　分段函数的求值问题 命题角度1　给x求y 例2　已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f的值． 解　∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4. ∵－∈(－2,2)， ∴f(－)＝(－)2＋2(－) ＝3－2， ∵－∈(－∞，－2]， ∴f＝－＋1＝－∈(－2,2)， ∴f＝f＝2＋2＝－. 引申探究　 本例中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围． 解　当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；当－2<x<2时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∈ [－1,8)； 当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)； ∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)． 反思与感悟　分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间； (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值； (2)画出函数f(x)的图象． 解　(1)因为5>4， 所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0， 所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1≤4， 所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1. (2)f(x)的图象如下： 命题角度2　给y求x 例3　已知函数f(x)＝ (1)若f(x0)＝8，求x0的值； (2)解不等式f(x)>8. 解　(1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；[来源:学§科§网] 当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－(舍去)，故x0＝. (2)f(x)>8等价于① 或② 解①得x∈∅，解②得x>，综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>}． 反思与感悟　已知函数值求字母取值的步骤： (1)先对字母的取值范围分类讨论； (2)然后代入到不同的解析式中； (3)通过解方程求出字母的解； (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内； (5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来． 跟踪训练