2.1.4 函数的奇偶性（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）新课标

2.1.4　函数的奇偶性 学习目标　1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 知识点一　函数奇偶性的定义 奇、偶函数的概念 偶函数 奇函数 定义[来源:学科网] 条件[来源:学科网][来源:学科网] 对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D[来源:Z。xx。k.Com] f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数 知识点二　奇(偶)函数的定义域特征 在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称． 知识点三　函数奇偶性的几何特征 思考　下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 答案　①②关于y轴对称，③④关于原点对称． 梳理　奇、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． (2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．(　×　) 2．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(　√　) 3．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(　√　) 4．奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．(　×　) 类型一　判断函数的奇偶性 命题角度1　已知函数解析式，证明奇偶性 例1　(1)证明f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数； (2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数； (3)证明f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数． 证明　(1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数． (2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因为f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数． (3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝＋为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝＋为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数． 反思与感悟　利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．其次，依据定义域，对函数f(x)的解析式能化简的先化简，再判断f(－x)与f(x)解析式的关系，从而确定出函数f(x)的奇偶性． 跟踪训练1　(1)证明f(x)＝(x－2) 既不是奇函数也不是偶函数； (2)证明f(x)＝x|x|是奇函数． 证明　(1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数． 命题角度2　证明分段函数的奇偶性 例2　判断函数f(x)＝的奇偶性． 解　由题意可知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)， 关于原点对称， 当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)， 所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)； 当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]， 所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)． 综上可知对于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)， 都有f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝是偶函数． 反思与感悟　分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不过对于不同的x，f(x)有不同的表达式，要逐段验证是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))． 跟踪训练2　证明f(x)＝是奇函数． 证明　定义域为{x|x≠0}． 若x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2， ∴f(－x)＝－f(x)； 若x>0，则－x<0， ∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2， ∴f(－x)＝－f(x)； 即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． 命题角度3　证明抽象函数的奇偶性 例3　f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，