2.3 函数的应用(Ⅰ)（课件+word）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（人教B版必修1）新课标

§2.3　函数的应用(Ⅰ) 学习目标　1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解.2.会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.3.了解数学知识来源于生活，又服务于生活． 知识点一　常见的函数模型 思考　用函数知识解决实际问题需要用到一些函数模型，常见的函数模型有哪些？ 答案　一次函数、二次函数、反比例函数． 梳理　三类常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0[来源:学科网] 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a2＋ a≠0 知识点二　函数应用的模型 思考　解决实际问题的基本过程是什么？ 答案　①分析问题，②建立函数模型，③解决函数问题，④回到实际问题． 梳理　数学模型的基本程序 类型一　一次函数模型的应用 例1　某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足．某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(千瓦时)与相应电费y(元)之间的函数关系如图所示． (1)月用电量为100千瓦时时，应交电费多少元？ (2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式； (3)月用电量为260千瓦时时，应交电费多少元？ 解　(1)月用电量为100千瓦时时，应交电费60元． (2)当x≥100时，y与x之间为一次函数关系． 设y＝kx＋b(k≠0)，则 ∴ ∴y＝x＋10. (3)当x＝260时，y＝×260＋10＝140. ∴月用电量为260千瓦时时，应交电费140元． 引申探究　 若将本例(2)中的x≥100去掉，求y与x的关系式． 解　由函数图象不在同一条直线上，∴选择分段求解． (1)当0≤x≤100时， 设y＝kx(k≠0)，则60＝100k，∴k＝， ∴y＝x. (2)当x>100时，同上例(2)，y＝x＋10. ∴y＝ 反思与感悟　一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单． 跟踪训练1　商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠办法： (1)买一个茶壶赠送一个茶杯； (2)按购买总价的92%付款． 某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x(个)，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果顾客需购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？ 解　(1)买4个茶壶，送4个茶杯，再单买x－4个茶杯， ∴y＝5(x－4)＋20×4(x≥4)， 即y＝5x＋60(x≥4)． 当x＝40时，y＝5×40＋60＝260(元)． (2)按总价的92%付款， 则y＝(20×4＋5x)×92%(x≥4)， 即y＝4.6x＋73.6(x≥4)． 当x＝40时，y＝257.6. 比较两种方案，可以看出，应选择第(2)种方案更优惠． 类型二　二次函数模型的应用 例2　如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．要使鸡场面积最大，养鸡场的长度应为多少米？ 解　设养鸡场面积为S. ∵养鸡场总长为x，∴宽为(0<x<50)． ∴S＝x·即S＝－(x2－50x)＝－(x－25)2＋， ∴当x＝25时，Smax＝. 即养鸡场的长度为25米时，面积最大． 引申探究　 若将本例改为：要使养鸡场面积为，怎样设计可使所用的篱笆最短？ 解　∵长为x，∴宽为， ∴L＝x＋×3，即L＝x＋. 由对勾函数的性质知，L＝x＋在(0,25)上为减函数，在(25，＋∞)上为增函数， ∴当x＝25时，Lmin＝25＋25＝50. 即养鸡场的长度为25 m时，可使用的篱笆最短． 反思与感悟　(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)． (2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题． (3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象． 跟踪训练2　据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 解　(1)由题意知，可设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式， 得20＝25a＋17.5. 解得a＝0.1. 所以y＝0.1x2－3x＋40(10≤x≤25)． (2)设最大利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y ＝1.6x