沪教版初三自主招生学案04：整除性（解析版）

整除性 知识梳理： 整除性： 1、设 是给定的整数， ，若存在整数 ，使得 ，则称 整除 ，记作 ，并称 是 的一个约数（因子），称 是 的一个倍数，如果不存在上述 ，则称 不能整除 ，记作 。 整除有以下常用性质： （1）若 且 ，则 。 （2）若 且 ，则对于任意的整数 有 。 （3）若 ，则或者 ，或者 ，因此若 且 ，则 。 （4）（带余除法）设 为整数， ，则存在整数 和 ，使得 ，其中 ，并且 和 由上述条件唯一确定。 2、数的整除性特征： （1）被2（或5）整除的数的特征是末位数字能被2（或5）整除。 （2）被4（或25）整除的数的特征是末两位数字能被4（或25）整除。 （3）被8（或125）整除的数的特征是末三位数字能被8（或125）整除。 （4）被3（或9）整除的数的特征是数码之和能被3（或9）整除。 （5）被11整除的数的特征是奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差事11的倍数。 3、正整数分为三类：（1）1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的正因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。 （1）整数 除1以外的最小正因数 是一个质数，如果 是合数，则 。 （2）若 是质数， 为任一整数，则必有 或 。 （3） 是质数，若 ，则 能整除 中的某一个。 （4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数 ，能唯一地表示成质因数的乘积（不计较因数的排列顺序），即 其中 为质（素）数（ ），上式叫做整数 的标准分解式。 4、设 不全为零，同时整除 的整数称为它们的公约数，将其中最大一个称为 的最大公约数，用符号 表示。当 ，称 与 互质。同时为 倍数的数称为它们的公倍数，其中最小的一个称为 的最小公倍数，记作 。 （1）若 ，则 。 （2）若 ，则 。 （3）若 则 。 （4）若 ，则 。 （5） 互质，若 ，则 。 （6）设 若 ，则 。 例题精讲： 例1：若 能被 整除，求正整数 的最大值。 例2：设 ，求 的值。 例3：已知整数 满足 ，且 能被 整除。求 。 例4：设 是正整数， 且 ，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求 。 例5：设 是正整数， 是质数，求 。 同步练习： 练习1：已知 为互质的正整数（即 是正整数，且它们