沪教版初三自主招生学案14：函数的基本概念（解析版）

函数的基本概念 知识梳理: 1、 函数的概念 在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数。 2、 一次函数 把函数称为一次函数，其中自变量的取值范围是任意实数。若 ，函数 为正比例函数。 一次函数的图像是一条经过点和的直线。 1. 基本公式 （1） 一次函数的解析式为，其中为常数项。 （2） 一次函数 的图像是一条直线，其斜率为。 2. 基本结论 （1） 增减性：当时，一次函数的函数值随自变量的增大而增大；当时，一次函数 的函数值 随自变量 的增大而减小。 （2） 对称性：一次函数 图像上的任意一点都是函数图像的对称中心；特别地正比例函数的图像关于坐标原点中心对称。 （3） 含有绝对值的一次函数的图像是由若干条线段和射线组成的折线，作出它的图像的步骤：先将绝对值去掉，分成几个不含有绝对值的一次函数。 三、绝对值函数 绝对值在初中数学中有了严格的定义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。用数学符号表示为： .同样绝对值还有几何性质：一个数的绝对值表示这个数在数轴上对应点到原点到距离。根据绝对值的几何与代数特征，对含有字母的绝对值我们仍然可以从代数和几何两个角度来处理。 （1） 分类讨论去绝对值； （2） 利用绝对值的几何性质。如 ,从一维几何角度看，表示数x在数轴上对应的点到原点的距离；从二维几何角度看，表示第一、第二象限角平分线即 的图像。 四、高斯函数 表示不超过x的最大整数，如 等。函数 叫做高斯函数。定义域为全体实数R.有如下性质： （1） 对任意的x， 都是整数； （2） 对任意的x，都有 ; （3） 是不减函数，即当 时，必有 ； （4） 中的x的整数部分可以“往外拿”，即等式 ，当且仅当m为整数时成立； （5） 对任意实数 ， ，都有 。 例题精讲： 例1 已知O为坐标原点，一次函数的图像与轴、轴的交点分别为A、B，且，求实数b的取值范围。 例2 作出函数的图像。 例3 对于任意实数，一次方程所表示的直线恒经过点D，求出点D的坐标。 例4 如图1-2所示，直线与 轴、 轴分别相交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，如果在第二象限内有一点 满足条件：，求实数 的值。 例5 解方程： 同步练习