沪教版初三自主招生学案23：二项式定理（解析版）

二项式定理 知识梳理： 1．二项式定理： ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数 EMBED Equation.DSMT4 . ③项数：共 项，是关于 与 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用 表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有 项。 ②顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。 与 是不同的。 ③指数： 的指数从 逐项减到 ，是降幂排列。 的指数从 逐项减到 ，是升幂排列。各项的次数和等于 . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 项的系数是 与 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令 令 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 ，··· ②二项式系数和：令 ,则二项式系数的和为 ， 变形式 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令 ，则 ， 从而得到： ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项式系数 取得最大值。 如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。 专题一 题型一：二项式定理的逆用； 例： 练： 题型二：利用通项公式求 的系数； 例：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数？ 练：求 展开式中 的系数？ 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式 的展开式中的常数项？ 练：求二项式 的展开式中的常数项？ 练：若 的二项展开式中第 项为常数项，则 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式 展开式中的有理项？ 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若 展开式中偶数项系数和为 ，求 . 练：若 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 ，求它的中间项。 题型六：最大系数，最大项； 例：已知 ，若展开式中第 项，第 项与第 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？