沪教版初三自主招生学案16：最值问题（解析版）

最值问题 知识梳理： 常用的求函数最值的方法 ①直接法：利用常见函数的值域； 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R， 当a>0时，值域为{ }； 当a<0时，值域为{ }。 ②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 形式； ③换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；分离常数法； ⑤基本不等式法：转化成型如： ，利用基本不等式求值域； ⑤数形结合法：耐克函数的图像等。 ⑤判别式法 例题精讲： 1、直接法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 　　　 例1、求函数y= 的最大值 2、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如 或 类的函数的值域问题，均可用配方法求解. 例2、求函数 的最小值 例3、若 ，函数 的最小值为 ，用 表示 。 3、 换元法 例4：求函数 的最值。 4、基本不等式法 例5、求函数 的最小值。 5、耐克函数单调性法（需掌握基本初等函数及以下函数的单调性） （1） （2） （3） （4） 例6、求函数 的最值。 6、判别式法 例7、求函数 的值域。 同步练习： 练习1：求函数 在 上的最大值和最小值. 练习2：求下列函数在 上的值域： （1） ； （2） . 练习3：求函数y= -2x+5，x [-1，2]的值域。 练习4：求函数 的值域；若是求 的值域呢？ 练习5:已知 ，求函数 的最大、最小值。 练习6:已知二次函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值。 练习7:已知 ，求函数 的最小值。 参考答案 【例题部分】 例1：解析：【解】： EMBED Equation.DSMT4 显然函数的最大值为1. 例2：解析：【解】： 又 　 函数的最小值为－7. 例3： 解析：【解】： 例4： 解析：【解】：令 ， 则 EMBED Equation.3 例5： 解析：【解】：原函数可化为 ，当且仅当 时取等号，故函数的最小值为2. 注意：用基本不等式法，要判断取等条件是否满足。 例6： 解析：【解】： 令 ，则原函数可化为 ，利用函数 在 上是减函数，在 上是增函数，得原函数值域为 。 所以函数的最小值为2，最大值为