沪教版初三自主招生学案15：二次函数（解析版）

二次函数 知识梳理： 一、定义 一般地，把形如的函数称为二次函数，其中自变量的取值范围是任意实数，它的图像是一条抛物线。 二、基本公式 （1） 二次函数 的图像的顶点坐标为； （2） 二次函数的解析式的顶点式为：； （3） 二次函数的解析式的交点式为：。 3、 基本结论 （1） 二次函数 的图像的对称性：关于直线成轴对称图形。 （2） 二次函数 的增减性： ①当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②当时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数。 （3） 二次函数 的最大、最小值： ①当 时， ，； ②当 时， ，。 （4） 二次函数 的图像与轴的交点坐标为。 （5） 二次函数 的图像与轴的交点情形： ①当时，抛物线与 轴有两个不同的交点； ②当时，抛物线与轴有一个交点； ③当时，抛物线与 轴没有交点。 例题精讲： 例1 已知当 时，二次函数 的函数值恒大于1，求实数 的取值范围。 例2 已知二次函数 满足下列两个条件： （1） 当 时，它是增函数，当 时，它是减函数； （2） 若方程 的两根为 ，且 ， 求二次函数的表达式。 例3 已知抛物线 与 轴只有一个公共点， （1） 求实数 的值； （2） 求代数式 的值。 例4 抛物线 与 轴的两个交点分别为A、B，顶点为C，求△ABC面积的最小值。 例5 已知关于x的方程 的两实根为 ,若 （1） 两根都为正数； （2） 两根异号； （3） 两根都大于1； （4） 一根不大于1，另一根不小鱼1.求实数m的取值范围。 例6 关于x的方程 在 有解，求实数a的取值范围。 同步练习： 1、 已知抛物线 与直线 不想交，求实数 的取值范围。 2、 二次函数 的图像与 轴的两个交点和顶点构成等边三角形，求二次函数的解析式。 3、已知 ，求二次函数 的最大值。 4、 是否存在二次函数，使其同时满足下列两个条件： （1） ；（2）对一切实数 ，均有 成立。若存在，求出二次函数的解析式；若不存在，说明理由。 5、 二次函数 满足条件： 且 ，方程 的两个根的立方和为17，求 的解析式。 6、已知二次函数 满足条件： ， ，其图像在 轴上截得的线段长为 ，求二次函数的解析式。 参考答案 【例题部分】 例1：解析：【解】：二次函数 的对称轴是直线 ，