沪教版初三自主招生学案07：整式（解析版）

整式 知识梳理： 1、余式定理：多项式 除以 所得的商式为 ，余式为 ，即 。 2、因式定理：如果多项式 含有因式 ，那么 ，反之亦然。我们称 为多项式 的零点。 3、乘法公式： （1）立方和公式： （2）立方差公式： （3）三数和平方公式： （4）两数和立方公式： （5）两数差立方公式： 4、拆添项法：把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。 5、试根法：整系数多项式 ，若 是它的有理根（ 互素），那么 整除 ， 整除 。 一些比较复杂的因式分解也可以利用试根法来解决（试根法使用于整系数多项式的因式分解） 6、常见数学思想与方法：整体思想、降次法、消元法、待定系数法、赋值法等。除了常规的因式分解法，还有拆添项法、双十字相乘法、待定系数法、试根法等。 例题精讲： 例1：已知 ，求 的值。 例2：已知 ,求 除以 的商式 和余式 。 例3：若 除以 的余数为4，试求多项式 除以 的余数。 例4：若 整除多项式 ，则 = 例5：求一个二次多项式 ，使它满足： 且 。 例6：已知 含有因式 ，试求 、 的值及 的另一个因式。 例7：分解因式： 例8：分解因式： 例9：若 满足 ，那么代数式 的最大值是多少？ 例10：分解因式： 例11：分解因式： 例12：已知 是 的一个因式，求 的值。 同步练习： 练习1：已知 ，那么代数式 的值是_____ 练习2：若对于多项式 有 ， ，试求 除以 所得的余式。 练习3：若 被 整除，试求常数 的值。 练习4：已知 ， ， ，试求三次多项式 的表达式。 练习5：已知 含有因式 ，且 ，试求 的值及 的另一个因式。 练习6：已知 ，求代数式 的值。 练习7：分解因式 练习8：分解因式 练习9：分解因式： 练习10：分解因式： 参考答案 例1：答案：2015 解析：解法一（整体代入）：由 得 所以 解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。 由 得 ， 所以 揭发三（降次、消元）： （消元、减项） 说明：本题常用的方法是降次法，通过降次最后使 化为一个常数，但是用降次法，变形过程较为复杂且容易出错，而用零代换只要掌握变形的技巧，计算比较简便。 例2：答案： ， 解析：（长除