专题3.1 导数的概念及运算-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第三篇 导数及其应用 专题3.01导数的概念及运算 【考试要求】 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； 2.体会极限思想； 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义； 4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；，y＝ 5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数； 6.会使用导数公式表. 【知识梳理】 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 .＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝ (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝lim称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数. 3.导数公式表 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)(g(x)≠0).′＝ 5.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′. 【微点提醒】 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 2.. ′＝－ 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.(　　) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.(　　) 【教材衍化】 2.(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　) A.－9 B.－3 C.9 D.15 3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a＝______ m/s2. 【真题体验】 4.(2019·青岛质检)已知函数f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于(　　) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 5.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________. 6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x2＋在点(1，2)处的切线方程为________. 【考点聚焦】 考点一　导数的运算 角度1　根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)f(x)＝ln . 角度2　抽象函数的导数计算 【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　) A.－e B.2 C.－2 D.e 【规律方法】 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 3.抽象函数求导，恰当赋值是关