专题2.2 函数的单调性与最值-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍

第二篇 函数及其性质 专题2.02　　函数的单调性与最值 【考试要求】 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值。 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义． 【知识梳理】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【微点提醒】 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 3.“对勾函数”y＝x＋].，0)，(0，，＋∞)；单调减区间是[－)，((a>0)的增区间为(－∞，－ 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　) (2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) 【教材衍化】 2.(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　) A.y＝－x B.y＝x2－x C.y＝ln x－x D.y＝ex 3.(必修1P31例4改编)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________. 【真题体验】 4.(2019·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　) A.y＝在R上为减函数 B.y＝|f(x)|在R上为增函数 C.y＝－在R上为增函数 D.y＝－f(x)在R上为减函数 5.(2019·青岛调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　) A.f(m)>f(1) B.f(m)<f(1) C.f(m)≥f(1) D.f(m)≤f(1) 6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 【考点聚焦】 考点一　确定函数的单调性(区间) 【例1】 (1)(2019·石家庄质检)若函数y＝log(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为(　　) A.(－∞，－4)∪[2，＋∞) B.(－4，4] C.[－4，4) D.[－4，4] (2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在x∈[1，2]上的单调性. 【规律方法】1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【训练1】 (一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 考点二　求函数的最值　 【例2】 (1)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为(　　) A. C.2 D.4 B. (2)已知函数f(x)＝则f[f(－3)]＝________，f(x)的最小值是________. 【规律方法】　求函数最值的四种常用方法 (1)单调性法：先确定