2020版数学（文）北师大版新设计大一轮（课件 讲义 基础巩固题组）：第三章　导数及其应用 (共12份打包)

审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 核心热点 真题印证 核心素养 利用导数研究函数的性质 2017·Ⅱ，21；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅲ，21；2018·Ⅱ，21 数学运算、逻辑推理 利用导数研究函数的零点 2018·Ⅱ，21(2)；2018·江苏，19 数学运算、直观想象 导数在不等式中的应用 2017·Ⅲ，21；2017·Ⅱ，21；2016·Ⅱ，20；2018·Ⅰ，21 数学运算、逻辑推理 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 教材链接高考——导数在不等式中的应用 [教材探究](引自人教A版选修1－1P99习题3.3B组 (3)(4)两个经典不等式) 利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图像直观验证. (3)ex>1＋x(x≠0)； (4)ln x<x<ex(x>0). [试题评析]　1.问题源于求曲线y＝ex在(0，1)处的切线及曲线y＝ln x在(1，0)处的切线，通过观察函数图像间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)＝ex－x－1与g(x)＝x－ln x－1对以上结论进行证明. 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“ln x”替换“x”，立刻得到x>1＋ln x(x>0且x≠1)，进而得到一组重要的不等式链：ex>x＋1>x－1>ln x(x>0且x≠1). 3.利用函数的图像(如图)，不难验证上述不等式链成立. 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 【教材拓展】 试证明：ex－ln x>2. 证明　法一　设f(x)＝ex－ln x(x>0)， 所以φ(x)在(0，＋∞)单调递增， 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 所以当x>x0时，f′(x)>0；当0<x<x0时，f′(x)<0. ∴f(x)＝ex－ln x在x＝x0处有极小值，也是最小值. 故ex－ln x>2. 法二　注意到ex≥1＋x(当且仅当x＝0时取等号)， x－1≥ln x(当且仅当x＝1时取等号)， ∴ex＋x－1>1＋x＋ln x，故ex－ln x>2. 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 【链接高考】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 当x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0. 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x>0时，g(x)≤0， 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 教你如何审题——利用导数研究函数的零点 【例题】 (2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax2. (1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a. [审题路线] 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› [自主解答] (1)证明　当a＝1时，f(x)＝ex－x2，则f′(x)＝ex－2x. 令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－2. 令g′(x)＝0，解得x＝ln 2. 当x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0； 当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0. ∴当x≥0时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1. 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› (2)解　若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程ex－ax2＝0在(0，＋∞)上只有一个解， 令φ′(x)＝0，解得x＝2. 当x∈(0，2)时，φ′(x)<0； 当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0. 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 探究提高　1.利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式：(1)求函数的零点、图像交点的个数；(2)根据函数的零点个数求参数的取值或范围. 2.导数研究函数的零点常用方法：(1)研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理来求解零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，从而同解变形为两个函数图像的交点，运用函数的图像性质求解. 审题答题指引 三年真题考情 ‹#› 【尝试训练】 已知三次函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a，b，c∈R)过点(3，0)，且函数f(x)在点(0，f(0))处的切线恰好是直线y＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)