2020高考数学（理）（人教）大一轮复习（课件 课时作业）：高考解答题专项训练(四)　空间向量与立体几何 (2份打包)

高考解答题专项训练(四)　空间向量与立体几何 1．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG； (2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长． 解：(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE. 又因为AB⊄平面PDE， 所以AB∥平面PDE. 因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG， 所以AB∥FG. (2)因为PA⊥底面ABCDE， 所以PA⊥AB，PA⊥AE. 如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，＝(1,1,0)． 设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1,1)． 设直线BC与平面ABF所成角为α，则 sinα＝|cos〈n，. ＝〉|＝ 因此直线BC与平面ABF所成角的大小为. 设点H的坐标为(u，v，w)． 因为点H在棱PC上， 所以可设(0<λ<1)， ＝λ 即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)． 所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ. 因为n是平面ABF的法向量， 所以n·＝0， 即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0. 解得λ＝， 所以点H的坐标为. 所以PH＝＝2. 2．如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点． (1)求证：BD∥平面FGH； (2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小． 解：(1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH. 在三棱台DEF-ABC中， AB＝2DE，G为AC的中点， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形DFCG为平行四边形． 则O为CD的中点， 又H为BC的中点， 所以OH∥BD， 又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH， 所以BD∥平面FGH. 证法二：在三棱台DEF-ABC中， 由BC＝2EF，H为BC的中点， 可得BH∥EF，BH＝EF， 所以四边形BHFE为平行四边形， 可得BE∥HF. 在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， 所以GH∥AB. 又GH∩HF＝H， 所以平面FGH∥平面ABED. 因为BD⊂平面ABED， 所以BD∥平面FGH. (2)设AB＝2，则CF＝1. 在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点， 由DF＝AC＝GC， 可得四边形DGCF为平行四边形， 因此DG∥FC. 又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC. 在△ABC中，由AB⊥BC，∠BAC＝45°，G是AC中点， 所以AB＝BC，GB⊥GC， 因此GB，GC，GD两两垂直． 以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz. 所以G(0,0,0)，B(，0)，D(0,0,1)． ，0,0)，C(0， 可得H，1)． ，F(0， 故，1)． ＝(0，，＝ 设n＝(x，y，z)是平面FGH的法向量， 则由可得 可得平面FGH的一个法向量n＝(1，－1，)． 因为，0,0)， ＝(是平面ACFD的一个法向量， 所以cos〈. ＝＝，n〉＝ 所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°. 3．(2019·湖北重点中学协作体联考)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，AC上的点，且满足(如图①)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连接A1B，A1C(如图②)． ＝＝ (1)求证：A1D⊥平面BCED； (2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：题图①中，由已知可得： AE＝2，AD＝1，A＝60°. 从而DE＝. ＝ 故得AD2＋DE2＝AE2， ∴AD⊥DE，BD⊥DE. ∴题图②中，A1D⊥DE，BD⊥DE， ∴∠A1DB为二面角A1-DE-B的平面角， 又二面角A1-DE-B为直二面角， ∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB. ∵DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED， ∴A1D⊥平面BCED. (2)存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED. 以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图， 过P作PH∥DE交BD于点H， 设PB＝2a(0≤2a≤3)， 则BH＝a，PH＝a，DH＝2－a， 易知A1(0,0,1)，P(2－a，，0)， a,0)，E(0， 所以a,1)．