2020高考数学（理）（人教）大一轮复习（课件 课时作业）：高考解答题专项训练(五)　直线与圆锥曲线 (2份打包)

高考解答题专项训练(五)　直线与圆锥曲线 1．(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于y的焦点． ，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8 (1)求椭圆C的方程； (2)如图，已知P(2,3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点． ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值； ②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由． 解：(1)设椭圆C的方程为. ＝1(a＞b＞0)，则b＝2＋ 由，a2＝c2＋b2，得a＝4， ＝ ∴椭圆C的方程为＝1. ＋ (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①设直线AB的方程为y＝x＋t， 代入＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0， ＋ 由Δ＞0，解得－4＜t＜4， 由一元二次方程根与系数的关系得 x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12， ∴|x1－x2|＝. ＝＝ ∴四边形APBQ的面积S＝. ×6×|x1－x2|＝3 ∴当t＝0时，S取得最大值，且Smax＝12. ②若∠APQ＝∠BPQ，则直线 PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k， 则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为 y－3＝k(x－2)， 由 得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0， ∴x1＋2＝， 将k换成－k可得x2＋2＝， ＝ ∴x1＋x2＝， ，x1－x2＝ ∴kAB＝＝ ＝， ＝ ∴直线AB的斜率为定值. 2．(2019·石家庄摸底)已知椭圆C：. ，点A是椭圆上任意一点，△AF1F2的周长为4＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为＋ (1)求椭圆C的方程； (2)过点Q(－4,0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记M，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程． ＝－λ，若在线段MN上取一点R，使得M＝λ 解：(1)因为△AF1F2的周长为4＋2， 所以2a＋2c＝4＋2. ，即a＋c＝2＋ 又椭圆的离心率e＝， ＝ 所以a＝2, c＝，所以b2＝a2－c2＝1. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意可知，直线l的斜率必存在． 故可设直线l的方程为y＝k(x＋4)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由消去y，得(1＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－4＝0， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝， ，x1x2＝ 由M，得(－4－x1，－y1)＝λ(4＋x2，y2)， ＝λ Q 所以－4－x1＝λ(x2＋4)，所以λ＝－. 设点R的坐标为(x0，y0)， 由M，得(x0－x1，y0－y1)＝ ＝－λ －λ(x2－x0，y2－y0)， 所以x0－x1＝－λ(x2－x0)， 解得x0＝. ＝＝ 而2x1x2＋4(x1＋x2)＝2×， ＝－＋4× (x1＋x2)＋8＝， ＋8＝ 所以x0＝－1. 故点R在定直线x＝－1上 . 3．(2019·广西柳州摸底)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为5. (1)求该抛物线C的方程； (2)已知抛物线上一点M(t,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由． 解：(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，其准线方程为x＝－， ∵P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离， ∴4＋＝5，∴p＝2. ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)由(1)可得点M(4,4)， 可得直线DE的斜率不为0， 设直线DE的方程为x＝my＋t， 联立得y2－4my－4t＝0， 则Δ＝16m2＋16t＞0.(*) 设D(x1，y1)，E(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t. ∵M＝(x1－4，y1－4)·(x2－4，y2－4) ·M ＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16 ＝－(y1＋y2)2＋3y1y2－4(y1＋y2)＋32 ＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16＝－4· ＝t2－16m2－12t＋32－16m＝0， 即t2－12t＋32＝16m2＋16m， 得(t－6)2＝4(2m＋1)2， ∴t－6＝±2(2m＋1)，即t＝4m＋8或t＝－4m＋4， 代入(*)式检验知t＝4m＋8满足Δ＞0， ∴直线DE的方程为x＝my＋4m＋8＝m(y＋4)＋8. ∴直线过定点(8，－4)． 4．(2019·广州综合测试)已知圆(x＋)． －G)⊥(G＋G，0)，点G在线段MP上，且满足(G)2＋y2＝16的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N( (1)求点G的轨迹C的方程； (2)过点T(4,0)作斜率不为0的直线l与(1)中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为