专题16 函数与导数（2）-2010-2019学年高考新课标全国I卷数学（文）真题分类汇编

专题16 函数与导数（2） 函数与导数大题：10年10考，每年1题．函数的载体上：对数函数很受“器重”，指数函数也较多出现，两种函数也会同时出现（2015年）．第2小题：2019年不等式恒成立问题，2018年证明不等式，2017年不等式恒成立问题，2016年函数的零点问题，2015年证明不等式，2014年不等式有解问题（存在性），2013年单调性与极值，2012年不等式恒成立问题，2011年证明不等式，2010年不等式恒成立问题． 1．（2019年）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x， f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 2．（2018年）已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1． （1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0． 3．（2017年）已知函数f（x）＝ex（ex﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 4．（2016年）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 5．（2015年）设函数f（x）＝e2x﹣alnx． （1）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数； （2）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln． 6．（2014年）设函数f（x）＝alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， （1）求b； （2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围． 7．（2013年）已知函数f（x）＝ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4． （1）求a，b的值； （2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值． 8．（2012年）设函数f（x）＝ex﹣ax﹣2． （1）求f（x）的单调区间； （2）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值． 9．（2011年）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0． （1）求a、b的值； （2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞． 10．（2010年）设函数f（x）＝x（ex﹣1）﹣ax2． （1）若a＝，求f（x）的单调区间； （2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 专题16 函数与导数（2） 函数与导数大题：10年10考，每年1题．函数的载体上：对数函数很受“器重”，指数函数也较多出现，两种函数也会同时出现（2015年）．第2小题：2019年不等式恒成立问题，2018年证明不等式，2017年不等式恒成立问题，2016年函数的零点问题，2015年证明不等式，2014年不等式有解问题（存在性），2013年单调性与极值，2012年不等式恒成立问题，2011年证明不等式，2010年不等式恒成立问题． 1．（2019年）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x， f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 【解析】（1）∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsinx﹣1＝cosx+xsinx﹣1， 令g（x）＝cosx+xsinx﹣1，则g′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx＝xcosx， 当x∈（0，）时，xcosx＞0，当x∈（，）时，xcosx＜0， ∴当x＝时，极大值为g（）＝＞0， 又g（0）＝0，g（π）＝﹣2， ∴g（x）在（0，π）上有唯一零点， 即f′（x）在（0，π）上有唯一零点； （2）由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0，使得f′（x0）＝0， 且f′（x）在（0，x0）为正，在（x0，π）为负， ∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减， 结合f（0）＝0，f（π）＝0，可知f（x）在[0，π]上非负， 令h（x）＝ax， 作出图象，如图所示： ∵f（x）≥h（x）， ∴a≤0， ∴a的取值范围是（﹣∞，0]． 2．（2018年）已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1． （1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0． 【解析】（1）∵函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1． ∴x＞0，f′（x）＝aex﹣， ∵x＝2是f（x）的极值点， ∴f′（2）＝ae2﹣＝0，解得a＝， ∴f（x）＝ex﹣lnx﹣