2020届高考一轮复习文科数学（人教版）资料 第三单元 导数及其应用（教案6份 作业手册6份 课件199张PPT） (18份打包)

第19讲　导数的综合应用——导数与方程 　 1．函数y＝x3＋x2＋x＋1的零点个数为(B) A．0 B．1 C．2 D．3 　 因为f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上单调递增， 因为f(0)＝1>0，f(－3)＝－2<0， 所以f(x)在R上有且只有一个零点． 2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(A) A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 　 由三次函数的图象与x轴恰有两个公共点，结合函数的图象，极大值或极小值为零即可满足要求． 而f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， 当x＝±1时，取得极值，由f(1)＝0或f(－1)＝0，可得c－2＝0或c＋2＝0，所以c＝±2. 3．若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是(A) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 　 该函数的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2ax＋. 因为曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线， 问题转化为方程2ax＋＝0在(0，＋∞)内有解， 于是可得a＝－∈(－∞，0)． 4．(2017·湖南湘中名校高三联考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若x1<f(x1)<x2，则关于x的方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实根的个数不可能为(D) A．2 B．3 C．4 D．5 　 由题意得，f′(x)＝－x2＋2ax＋b， 因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点， 所以x1，x2是方程－x2＋2ax＋b＝0的两个实数根， 所以由[f(x)]2－2af(x)－b＝0，可得f(x)＝x1，或f(x)＝x2， 由题意知，f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增， 又x1<f(x1)<x2，依题意，作出简图，如图所示． 结合图形可知，方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实根个数不可能为5. 5．(2018·韶关模拟)设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，且x1<2<x2，则实数a的取值范围是　(2,6)　. 　 (方法一)由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0， 得x1＝，x2＝a. 因为x1<2<x2，所以所以2<a<6. (方法二)由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，且x1<2<x2， 所以f′(2)<0，解得2<a<6. 6．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是　①③④⑤　.(写出所有正确条件的编号) ①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2. 　 令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a. 当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，④⑤正确； 当a＜0时，若a＝－3， 则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 所以f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2， f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2， 要使f(x)＝0仅有一个实根， 需f(x)极大＜0或f(x)极小＞0，所以b＜－2或b＞2， ①③正确，②不正确．故填①③④⑤. 7．(2016·北京卷)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围； (3)求证：a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件． 　 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 因为f(0)＝c，f′(0)＝b，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c. (2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c， 所以f′(x)＝3x2＋8x＋4. 令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0， 解得x＝－2或x＝－. 当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的变化情况如下： x (－∞，－2) －2 (－2，－) － (－，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) (单调递增 c (单调递减 c－ (单调递增 所以，当c＞0且c－，0)，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.)，x3∈(－＜0时，存在x1∈(－4，－2)，x2∈(－2，－ 由f(x)的单调性知，当且仅当c∈(0，)时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点． (3)证明：当Δ＝4a2－12b＜0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)， 此时函数f(x)在区