2019秋人教版八年级数学上册（课件+检测）13.3.2等边三角形 (4份打包)

初中数学（人教版） 八年级 上册 第十三章　轴对称 栏目索引 13.3.2 等边三角形 知识点一    等边三角形的概念及性质 定义 性质 等边 三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形 (1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°. (2)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,三条对称轴的交点称为“中心”. (3)等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质 知识详解 (1)等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合(三线合一),它们所在的直线 都是等边三角形的对称轴. (2)所有的等边三角形都是等腰三角形,但并不是所有的等腰三角形都是等边三角形 栏目索引 13.3.2 等边三角形 例1　如图13-3-2-1,△ABC为等边三角形,P为BC上一点,△APQ为等边 三角形. (1)求证:AB∥CQ; (2)是否存在点P使得AQ⊥CQ?若存在,指出P的位置;若不存在,说明理由.   图13-3-2-1 栏目索引 13.3.2 等边三角形 分析　(1)根据等边三角形的性质得出AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ= 60°,从而得到∠BAP=∠CAQ,根据SAS证△ABP≌△ACQ,推出∠ACQ= ∠B=∠BAC=60°,根据平行线的判定推出即可. (2)当点P为BC的中点时,AQ⊥CQ.根据(1)及已知得出∠ACB=∠AQP= ∠ACQ=∠B=∠BAC=60°,BP=CQ,从而PC=CQ,求出∠CQP的度数,可得 ∠AQC=90°. 栏目索引 13.3.2 等边三角形 解析    (1)证明:∵△ABC和△APQ都是等边三角形, ∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60°, ∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,∴∠BAP=∠CAQ. 在△ABP和△ACQ中,  ∴△ABP≌△ACQ(SAS), ∴∠B=∠ACQ,又∠B=∠BAC=60°, ∴∠BAC=∠ACQ,∴AB∥CQ. (2)存在点P使得AQ⊥CQ,当P为BC的中点时符合,理由如下:由(1)及已 知得 ∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°,BP=CQ, 栏目索引 13.3.2 等边三角形 ∵P为BC的中点,∴PC=BP,∴PC=CQ, ∴∠CQP=∠QPC= (180°-∠PCQ)= ×(180°-60°-60°)=30°, ∴∠AQC=60°+30°=90°,∴AQ⊥QC, 即存在点P使得AQ⊥CQ,当P为BC的中点时符合. 栏目索引 13.3.2 等边三角形 知识点二    等边三角形的判定 等边三 角形判 定方法 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 知识详解 (1)等边三角形的定义是等边三角形的一种判定方法. (2)“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可理解为“有两个角 等于60°的三角形是等边三角形”. (3)第三种判定方法是在等腰三角形的条件下,60°的角无论是顶角还 是底角都成立 栏目索引 13.3.2 等边三角形 例2　如图13-3-2-2,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于点D,且 DE=BD,试判断△CBE的形状,并说明理由.   图13-3-2-2 栏目索引 13.3.2 等边三角形 解析    △CBE是等边三角形,理由如下: 证法一:因为AB=BC,BE⊥AC,∠ABC=120°, 所以∠CBD= ∠ABC=60°. 因为BD=DE,BE⊥AC, 所以CD垂直平分BE. 所以BC=EC. 所以△CBE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). 证法二:因为AB=BC,∠ABC=120°, 所以∠ACB=∠A=30°. 因为BE⊥AC,BD=DE, 所以CD垂直平分BE,∠CBE=60°. 栏目索引 13.3.2 等边三角形 所以∠BCD=∠ECD=30°. 所以∠BCE=60°. 所以△CBE是等边三角形(有两个角是60°的三角形是等边三角形). 点拨　当判定一个三角形是等边三角形时,若已知两边相等,一般通过 已知条件再求一个角为60°即可;若只知道角,一般证明有两个角为60° 即可. 栏目索引 13.3.2 等边三角形 知识点三    含30°角的直角三角形的性质 栏目索引 13.3.2 等边三角形 例3　如图13-3-2-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AM平分∠BAC, AM的长为15 cm,求BC的长.   图13-3-2-3 栏目索引 13.3.2 等边三角形 解析　∵在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠BAC=60°, ∴∠