2019秋人教版八年级数学上册（课件+检测）13.3.1等腰三角形 (4份打包)

初中数学（人教版） 八年级 上册 第十三章　轴对称 知识点一    等腰三角形的性质 图形 数学语言 文字描述   在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)   ①因为AB=AC,AD⊥BC,所以AD平分∠BAC,且BD=CD. ②因为AB=AC,BD=DC,所以AD⊥BC,且AD平分∠BAC. ③因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以BD=CD,且AD⊥BC 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”) 特别 提醒 (1)应用“等边对等角”“三线合一”的前提是在同一个等腰三角形中,不能乱用. (2)“三线合一”中“三线”指的是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线,而腰上的高、 中线及该腰的对角的平分线不一定重合 例1　如图13-3-1-1所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC. (1)求∠ADB的度数; (2)若∠BAC=100°,求∠B,∠C的度数; (3)若BC=3 cm,求BD的长.   图13-3-1-1 解析    (1)因为AB=AC,AD平分∠BAC, 所以AD⊥BC, 所以∠ADB=90°. (2)因为∠BAC=100°, 所以∠B+∠C=80°. 因为AB=AC, 所以∠C=∠B=40°. (3)因为AB=AC,AD平分∠BAC, 所以BD= BC= ×3=1.5(cm). 例2　(1)已知等腰三角形的一个角是30°,求三角形的另外两个角的度数; (2)已知等腰三角形的一个角是160°,求三角形的另外两个角的度数. 分析　已知等腰三角形的一个角,没有明确是等腰三角形的底角还是顶 角,所以需要分类讨论. 解析    (1)若已知角是顶角,则另外两个角是底角,底角的度数为 ×(180° -30°)=75°;若已知角是底角,则顶角的度数为180°-30°×2=120°.所以另外 两个角的度数分别是75°,75°或30°,120°. (2)已知等腰三角形的一个角是160°,由于三角形内角和为180°且等腰三 角形的两个底角相等,因此已知的这个角只能是顶角,所以两个底角的 度数都是 ×(180°-160°)=10°.所以另外两个角的度数分别是10°,10°. 知识点二    等腰三角形的判定 图形 数学语言   条件:在△ABC中,∠B=∠C. 结论:AB=AC 判定方法 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写 成“等角对等边”) 判定与性 质的关系 判定与性质是互逆的. 边相等 角相等 注意 (1)应用等腰三角形的性质和判定的前提都是在同一个三角形中. (2)利用等腰三角形的性质和判定可以不经过三角形全等的证明,直接 由等边得等角或由等角得等边,应用起来更简捷 例3　如图13-3-1-2,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接 AD.若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形.   图13-3-1-2 证明　∵AB=AC,∠B=30°, ∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°, ∵∠BAD=45°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+ ∠BAD=75°,∴∠ADC=∠CAD,∴AC=CD, 即△ACD为等腰三角形. 题型一    应用等腰三角形的性质求角的度数 例1    (2019河南洛阳期中)如图13-3-1-3,在△ABC中,点D在边BC上,若 AB=AD=CD,∠BAD=100°,求∠C的度数.   图13-3-1-3 解析　∵AB=AD,∠BAD=100°, ∴∠B=∠ADB= ×(180°-100°)=40°. ∵AD=CD,∴∠DAC=∠C,∴∠C= ∠ADB=20°. 例2    (2019江苏泰州泰兴月考)(1)如图13-3-1-4①,△ABC中,∠ABC、 ∠ACB的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F.试猜想 EF、BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由; (2)如图13-3-1-4②,若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分 线,其他条件不变,则刚才的结论还成立吗?请说明理由.   题型二    利用“等角对等边”证明线段间的关系 图13-3-1-4 分析　(1)根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB,∠FOC =∠FCO,根据等角对等边推出BE=OE,CF=OF,根据BE=OE,CF=OF即可 得出EF与BE、CF之间的关系; (2)根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB,∠FOC= ∠FCO,根据等角对等边推出BE=OE,CF=OF,根据BE=OE,CF=OF即可得 出EF与BE、CF之间的关系. 解析