2019秋北师大版九年级数学上册课件+检测：第一章3正方形的性质与判定 (4份打包)

第一章　特殊平行四边形 初中数学（北师大版） 九年级 上册 3　正方形的性质与判定 栏目索引 知识点一    正方形的定义和性质 项目 内容 面积 定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (1)正方形的面积=边长的平方. (2)正方形的面积=对角线长乘积 的一半 性质 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 对称性 正方形是轴对称图形,有4条对称轴 边 对边平行,四边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分,每组对角线平分一组对角 3　正方形的性质与判定 栏目索引 解读 (1)正方形的定义有三个条件:①有一组邻边相等;②有一个角是直角; ③是平行四边形.这三个条件必须同时具备,缺一不可. (2)正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的菱形、特殊的矩形,它们的关系如图所示:   3　正方形的性质与判定 栏目索引 解析    (1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC=90°,∴∠ABD= ∠ABC=45°. (2)∵四边形ABCD是正方形, ∴AO=CO,BO=DO,AC=BD, ∴BD=AC=2AO=2×2=4. (3)S正方形ABCD= AC·BD= ×4×4=8. 点拨　充分利用正方形的四条边相等、四个角相等、对角线相等且互 相垂直平分、对角线平分每一组对角的性质解题. 图1-3-1 例1　如图1-3-1,四边形ABCD是正方形, 对角线AC与BD相交于点O,若AO=2.试求: (1)∠ABD的度数; (2)BD的长; (3)正方形ABCD的面积. 3　正方形的性质与判定 栏目索引 知识点二    正方形的判定 判定方法 方法说明 正方形 的判定 对角线互相垂直的矩形是正方形 先判定一个四边形是矩形,再判定这个矩形是 菱形 有一个角是直角的菱形是正方形 先判定一个四边形是菱形,再判定这个菱形是 矩形 对角线相等的菱形是正方形 重点 解读 (1)判定四边形是正方形的方法还有:①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;③既是菱形又是矩形的四边形是正方形. (2)四边形之间的转化关系如下:   3　正方形的性质与判定 栏目索引 例2　如图1-3-2所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC, DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:四边形CFDE是正方形.   图1-3-2 证明    证法一:∵DE⊥BC, ∴∠DEB=90°. ∵∠ACB=90°,∴DE∥CF. 同理DF∥CE. 3　正方形的性质与判定 栏目索引 ∴四边形CFDE是平行四边形. ∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC, ∴DE=DF,∴▱CFDE是菱形. 又∵∠ACB=90°,∴菱形CFDE是正方形. 证法二:∵DE⊥BC,DF⊥AC,∴∠DEC=∠DFC=90°. 又∵∠ACB=90°,∴四边形CFDE是矩形. ∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC, ∴DE=DF,∴矩形CFDE是正方形. 点拨　本题用到了判定正方形的两种方法:①有一个角为直角的菱形是 正方形;②有一组邻边相等的矩形是正方形.解答这类问题时,要根据题 目的特点,灵活地选择方法进行判定. 3　正方形的性质与判定 栏目索引 题型一    矩形、菱形、正方形的判定方法的综合应用 例1　如图1-3-3,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC的 外角平分线,CE⊥AN,垂足为E. (1)求证:四边形ADCE是矩形; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形?请给出证明.   图1-3-3 3　正方形的性质与判定 栏目索引 分析 (1)欲证四边形ADCE是矩形,根据已知条件可以证明四边形有三个 角是直角;(2)四边形ADCE是矩形,要使它是正方形,只需一组邻边相等,即 AD=CD,此时△ACD是等腰直角三角形,即∠ACD=∠CAD=45°,∴∠BAC =90°.(答案不唯一) 解析    (1)证明:在△ABC中, ∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD. ∵AN是△ABC的外角平分线,∴∠MAE=∠CAE, ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= ×180°=90°. 又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°, ∴四边形ADCE是矩形. (2)答案不唯一,如:∠BAC=90°. 证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC, 3　正方形的性质与判定 栏目索引 ∴∠A