专题18 角平分线的性质-2019版八年级数学上册同步知识基础与提升（人教版,含视频讲解）

146.角平分线的性质 基础部分 知识梳理： 角平分线的性质： 1.性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等. 理解要点：（1）点一定要在角平分线上；（2）点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；（3）角平分线的性质可用来证明两条线段相等. 3.书写格式：如下图所示，平分于点，于点，. 3.易错提示：易找错距离，把角平分线上的点到角的两边的距离错用为角平分线上的点与角两边的任意点间的距离. 角平分线的判定： 1.判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. （1）书写格式：如下图所示.点在的平分线上（或）. （2）作用：运用角平分线的判定，可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线. 2.角平分线的判定定理与性质定理的关系：（1）如下图所示，都与距离有关：即条件都是具备；（2）点在角平分线上 点到角两边的距离相等. [来源:学科网ZXXK] 拓展点：三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等. 典型题组： 1.如下图所示，在中，平分，于在上，，求证：. 解析：要证，可考虑证两线段所在和全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只需要再证即可，这可由平分证得. 答案：平分，于，，. 在和中， . 2.如下图所示，在中，是的平分线，于点.若 cm，求的周长. 解析：要求的周长，实质是求的长，而题中已知 cm，因此需证，由是角平分线知，所以需证，由，因此只需证，它可由得出.[来源:Z_xx_k.Com] 答案 ：平分，且，又，，，又. . 又 cm，的周长为 cm. 3.如下图所示，于点于点和相交于点. 求证：平分. 解析：要证平分，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明和全等来完成. 答案：证明：于点于点，， 在和中， （AAS），. 又于点于点， 平分. 4.如下图所示，是的中点，平分.连接是否平分？并说明理由. 解析：要判定是否平分，思路有两种，一是判断是否成立；二是过点作于，判断是否成立. 答案：平分.理由如下：如上图，过点作，垂足为. 平分，. ，，. 又是的中点，. 又，平分. 5.如下图所示，在中，请证明： （1）若为的平分线，则；[来源:Z,xx,k.Com] （2）设为上的一点，连接，若，则为的平分线. 答案：证明：如上图所示，过作于，于. （1）平分且，，. . （2） ， , .又为的平分线. 过关自测： 1.如下图所示，已知平分，于于，且. （1）求证： （2）若，求的长. 答案：（1）证明：平分，于，于，. 在和中，. （2）解：在和中， . ,,,解得，所以的长为4. 2.如下图所示，在中，，平分于，如果 cm，那么等于 . 答案：3cm. 3.如下图所示，在中，是的中点，，，垂足分别是.求证：是的角平分线. 答案：证明：是的中点，. 在和中， . .又，是的角平分线. 4.如下图所示，在中，,是角平分线，于.求证：点在的平分线上. 答案：证明：是角平分线，. 在和中，， （AAS），点在的平分线上. 5.如下图所示，分别是三边上的点，，和的面积相等.求证：平分. 答案：如下图所示，过作于于， . 又 点在的平分线上，即平分. 6.如下图所示，两条笔直的公路相交，村庄的村民在公路的旁边建了三个加工厂,，已知千米，村庄到公路的距离为4千米，则村庄到公路的距离是（ ） A.3千米 B.4千米 C.5千米 D.6千米 答案：B. 7.<浙江温州>如下图所示，平分，，垂足分别为.下列结论中不一定成立的是（ ） A. B.平分 C. D.垂直平分 答案：D. 8.<长沙>如下图所示，是的平分线，为上的一点，于点， cm，则点到边的距离为 cm. 答案：4. 提升部分 典型题组： 1.如下图所示，在四边形中，平分. 解析：本题根据平分，想到从点向角的两边作垂线段，构造直角三角形，证明直角三角形全等，从而将两角的和转化为一个平角，进而得出结论. 答案：如上图所示，过点作交的延长线于点，作于点.平分，.在和中，. 2.如下图所示，、是两外角的平分线，且与的延长线交于点，且与的延长线交于点，试探究、、三条线段有什么关系？ 解析：点是两个角的平分线的交点，因此先作，利用角平分线的性质找出相等的线段，探究、、三条线段的关系. 答案：如图上图所示，作，垂足为. 平分， 在和中， ，. 同理可证. ，即. [来源:Zxxk.Com] 过关自测 1.<湖北鄂州>如下图所示，是中的平分线，交于点交于点，则的长是（ ） A.4 B.3 C.6 D.5 答案：B. 2.<湖南怀化>如下图所示，是内的一点。，垂足分别为点.求证：（1）；（2）点在