专题10 三角形的外角定理-2019版八年级数学上册同步知识基础与提升（人教版,含视频讲解）

138.三角形的外角定理 基础部分 知识梳理： 三角形的外角定理： 1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角.如下图所示的的一边是的边 ，另一边是的边的延长线. 理解要点：（1）位置：在三角形的外部. （2）与相邻内角是邻补角（即一边与内角一边公共，另一边是这内角另一边的反向延长线）. （3）三角形的每个顶点处都有两个外角，这两个外角是对顶角，我们研究三角形的外角是地，通常只取共中一个. 2.易错提示：虽然三角形的外角在三角形外部，但不应错误理解为三角形外部的角就是三角形的外角. 三角形内角和定理的推论（三角形外角定理）； 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 作用：（1）此定理反映了三角形的外角与不相邻内角的数量关系，利用它可以求相关的角； （2）利用它可以证明一个角等于另两个角的和或差； （3）利用它作为中间关系证明两个角相等. 三角形外角定理的推论： 1.三角形的三个外角的和等于； 2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；作用：用来证明角的不等关系. 典型题组： 1. 如图所示，的外角为 . 解析：图中的三边的延长线只有的延长线的延长线，延长线与边构成的角为；延长线与边构成的角为.由三角形外角的概念可以判断是的外角. 答案：. 2. 如图，，，，则的度数为 . 解析：延长BA交AC于点F，利用平行线的性质和三角形外角的性质即可求解. ∵,.又是的外角，所以= 答案 ：79°. 3.<山东威海>将一副直角三角板如下图摆放，点在上，经过点.已知，，则 . 解析：要求，即需求其余角的度数，又，而可利用外角定理求出，为三角板内角已知.如上图，由三角形的外角性质知，，由三角形内角和定理知，.[来源:学科网] 答案：25°. 4.如图所示，在中，平分外角，请说明.[来源:Z§xx§k.Com] 解析：与是直线与被直线所截形成的内错角，要证，只要证出即可，因为平分外角，由角平分线的性质可得是的2倍.又因为是的一个外角，由三角形的外角的性质可得是与的和，而，所以也是的2倍，故得以证明. 答案：又（三角形的外角等于它不相邻的两个内角的和），平分 （内错角相等，两直线平行）. 5.如图，请确定与的大小关系，并说明为什么？ 解析：要判断与的大小关系，而这两个角间没有直接关系，则需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来，而 能担当这种角色；用三角形外角的性质，先判断与的大小关系，再判断与的大小关系，用不等式的传递性判断与的大小关系. 答案：. 理由如下：是的一个外角，是的一个外角， 过关自测： 1. 如图，一副三角板叠放在一起，的度数是（ ） A.120° B.105° C.115° D.150° 答案：B. 2.如图，直线，与交于点，若，，则 的大小为（ ） A.60° B.75° C.90° D.105° 答案：D. 3.<一题多解>如下图，点是内任意一点，求证：. 答案：证法一：如下图所示， 延长交于，是的外角， ，又是的外角， . 证法二：如下图所示， 连接并延长交于，是 的外角，,又是的外角，， ，即. 4.如下图所示，下列关于的外角的说法正确的是（ ） A.是的外角 B. 是的外角 C. 是的外角 D. 是的外角 答案：D. 5.<四川达州，一题多解>如下图所示，射线构成则等于（ ） [来源:Zxxk.Com] A.180° B.360° C.540° D.无法确定 答案：B. 6.<四川绵阳>如下图所示，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，等于（ ） A.225° B.235° C.270° D.与虚线的位置有关 答案：C. 7.<湖南湘西州>如下图所示，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，则的度数是（ ） A.15° B.25° C.30° D.10° 答案：A. 8.如下图所示，，则的度数是（ ） A.85° B.75° C.64° D.60° 答案：D. 提升部分 典型题组： 1.<广东河源>如下图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点分别在边上，将沿着折叠压平，与重合，若，则=（ ） A.150° B.210° C.105° D.75° 解析：题中只有 一个条件，若要单独求图中的任何一个角都是不可能的，但把与的和看作一个整体用三角形内角和定理即可求出，再根据折叠的特点和平角的定义把看作一个整体，问题得以解决. 在中，， 又由折叠可知 ， ，. 答案：A. 2. 如图，在五角星中，试说明 . 解析：五个角不在同一个三角形中，需要利用“三角形的一个外角等于与它相邻的两个内角的和”转化到一