专题05 三角形的中线-2019版八年级数学上册同步知识基础与提升（人教版,含视频讲解）

133.三角形的中线 基础部分 知识梳理： 1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的线段叫做该在殂形这条边上的中线. 2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该点在三角形内部，如下图所示，这个点叫三角形的重心. 3.表达方式： （1）是中边上的中线. （2）点是边的中点. （3）或或或. 注：上述三种情况都表示是中线，选用哪种表示法，应根据解题需要. 4.易错提示：中线是线段，不要将它与线段所在直线混淆. 典型题组： 1.<动手操作题>在中，，边上的中线把 的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长. 解析：因为中线将的周长分成两部分：和 ，谁为12cm，谁为15cm，不确定，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因此可建立方程的模型，利用设未知数来求解. 答案：设cm，则 cm. （1）如下图（1）所示，若cm，则，解得，即 cm， cm.故 (cm).[来源:Z#xx#k.Com] 此时，所三边长分别为8cm，8cm，11cm.[来源:学科网] （2）如下图（2）所示，若 cm，则，解得，即 cm，则 cm， 故（cm）.显然此时三角形存在，所以三边长分辊为10 cm，10 cm，7 cm.综上所述，此三角形的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm. [来源:Zxxk.Com] 2.张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了.于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案. 解析：根据等底等高的三角形的面积相等，要等分三角形的面积，只需要作出一条边上的中线即可. 答案：根据要求，平分田地的直线只能经过三角形的顶点.画的中线如上图所示，则把的积平分成两份.这是因为是的中线，所以.过点作于点.在和中，因为边上的高都是，所以由三角形的面抬头看我计算公式，知和的面积相等，因此，要把平分成两个三角形，只需画出中线即可，这是一种平分方法.（本题答案不唯一，作边上的中线也可以） 过关自测： 1.如图所示，是的中线，的长为5cm，与的周长之差为3cm，的长为13cm，求的长. 答案：因为的周长=，的周长=，所以cm. 因为是的中线，所以，所以cm. 又因为cm，所以(cm). 2.如图所示，在中，分别为的中点，且 的面积为4，则图中阴影部分的面积是 . 答案：1. 3.<四川巴中，改编>三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ） A.中线 B.角平分线 C.高 D.以上都不对 答案：A. 提升部分 典型题组 1.在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如下图所示的几何图形，你能利用这个几何图形求出的值吗？ 解析：利用三角形中线的性质将转化为图中部分三角形的面积的和进行计算.[来源:学_科_网] 答案：观察图形可以发现，图中最大的等腰直角三角形的面积等于1，算式就是将最大的等腰直角三角形作次分割（每次都是作中线）后，除了最后一个小等腰直角三角之外的所有小等腰直角三角形的面积的和，所以. 2.如下图所示，在中，是中线，的周长为34cm，的周长为30cm，求的长. 答案：点是的中点，.的周长为34cm，cm，即cm ①，又的周长为30 cm，即cm ②， ②-①，得 cm. 过关自测： 1.如下图所示，在中，已知点分别为，的中点，且cm2，则等于（ ） A.4 cm2 B.2 cm2 C.1 cm2 D. cm2 答案：B. 2.小明家有一块如下图所示的三角形菜地，要种面积相等的四种蔬菜，请你设计两种方案，把这块地分成四块面积相等的三角形地块分别种植四种蔬菜.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 答案：第一种方案：如下图所示，四等分一条边构成的四个三角形； 第二种方案：由中线以及中线上的中线分割成的四个三角形如下图所示. $$