专题04 三角形的高-2019版八年级数学上册同步知识基础与提升（人教版,含视频讲解）

132.三角形的高 基础部分 知识梳理： 1.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线，顶点垂足之间的线段叫做该三角形这条边上的高；一个三角形有三条高. 2.位置图例：[来源:学|科|网Z|X|X|K] （1）三个角都是锐的三角形；三长高都在三角形内部，其交点也在三角形内部（如下图所示）. （2）有一个直角三角形：一条高在三角形内部，两条高在三角形边上；其交点为直角顶点（如下图所示）. （3）有一个钝角三角形：一条高在三角形内部，两条高在三角形外部，其交点在三角形外部（如下图所示）.[来源:Zxxk.Com] 3.表达方式：（1）是的边上的高； （2）于；[来源:学科网] （3），或. 注：上述三种情况都表示是高，选 用哪种表示法，应根据解题需要合理选用. 4.易错提示：（1）三角形中大于90°的角的两边上的高的作法（高均在三角形外部）. （2）任何三角形的三条高所在直线交于一点（垂心）. 典型题组： 1. 画出下图中的三条高.（要标明字母，不写画法） 解析：“作一边上的高”，即可看作“过一点（这边所对角的顶点）作已知直线（这边所在的直线）的垂线.”按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意边上的高在三角形的外部，作高时选延长与. 答案：如下图所示. 2.如图所示，在3×2的正方形网格中，小正方形的边长为1，以图中 中的三点为顶点的三角形中，面积为1的三角形有哪些？ 解析：首先要清楚以下五点中的三点为顶点的三角形有多少个，注意三点在一条直线上，不能组成三角形；再从这些三角形中找出面积为1的三角形；而要找面积为1的三角形，根据这些三角形的特征，实质上是要找高为1，底为2和底为2，高为1的所有三角形. 答案：以中的三点为顶点的三角形有.其中面积为1的有. 3.如下图所示，中，=4 cm，cm. （1）若边上的高cm，试求的面积及边上的高的长； （2）试求的值. 解析：利用三角形面积公式及等积原理求解. 答：（1）（cm2）, （cm2）,（cm）. （2）. 过关自测： 1.已知，如下图所示，于点于点，与交于点.[来源:学§科§网] （1）的边上的高为 ，边上的高为 ； （2）若，则= . 答案：（1）； （2） 2.如下图所示，在中，，是边上的高， （1）求的面积； （2）求的长. 答案：（1） （2）. 3.下列说法以错误的是（ ） A.三角形的三条高一定在的三角形内部交于一点 B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D.三角形的三条高所的直线可能相交于三角形外部一点 答案：A. 4.如下图所示，，垂足为，，下列说法正确的是（ ） A.直线是的边上的高 B.线段是的边上的高 C.射线是的角平分线 D.与的面积相等 答案：B.[来源:学,科,网Z,X,X,K] 提升部分 如图所示：已知中,. 求证：. 解析：要求线段的和、差关系，需将它们转化为三角形高的和、差关系，再利用面积的和、差关系来解决.其中只有是的高. 要想成为高，很自然地联想到要连接. 答案：证明：连接， . 又. 过关自测 如图所示，已知等边三角形中， . 求证：. 答案：证明：连接. . . 是等边三角形， , . $$