12 二次函数 y=ax2(a≠0）的图象-2019版九年级数学上册同步知识基础与提升（含视频讲解）

252.二次函数的图象 基础部分 知识梳理： 1.用描点法画二次函数的图象，一般要经历 列表 、 描点 、 连线 三个步骤. 2.二次函数图象是一条抛物线，它是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的 顶点 . 3.画二次函数的图象要经历：列表，描点，连线三个步骤，而列表一般采用“五点法”，这五点包括顶点和在对称轴的左右两边各取的两点. 4.易错提示：列表时，自变量的取值应具有代表性的普遍性；连线时，必须按照自变量由小到大（或由大到小）的顺序用平滑的典线把各点依次连接切勿跨点连接；抛物线的两端是无限延伸的，画的时候要“出头”. 典型题组： 1.在直角坐标系中分别画出下列函数的图象： （1）；（2）. 解析：经历列表、描点和连线三个步骤，画出函数图象即可. 答案：（1）①列表得： 0 2 4 8 2 0 2 8 ②如下图所示，在平面直角坐标系中画出点 . ③用一条平滑的典线顺次连接这几个点. 这条曲线就是二次函数的图象. （2）①列表得： 0 2 4 8 0[来源:学科网ZXXK] ②如下图所示，在平面直角坐标系中画出点. ③用一条平滑的典线顺序连接这几个点. 这条曲线就是二次函数的图像. 2.正方形的面积（m2）与边长（m）之间函数关系可以用图下图中那个来表示（ ） 解析：根据正方形的面积公式列出式子，判断与的函数关系是二次函数结合自变量的取值范围，图象是抛物线且在第一象限. 答案：B 过关自测： 1.如下图所示，[来源:学科网] 正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形 各边平行或垂直.若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映的与之间函数关系的大致图象是下图中的（ ） 答案：C. 2.在同一坐标系中，抛物线的共同点是（ ） A.开口向上，对称轴是轴，顶点是原点 B.开口向下，对称轴是轴，顶黄河口是原点 C.对称轴是轴，顶点是原点 D.有最小值为0 答案：C. 提升部分 典型题组 1已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是下图中的（ ） 解析：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过一、三象限，故排除选项；当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一个交点，故选择C.[来源:学科网ZXXK] 答案：C 2.已知直线上有两点，它们的横坐标分别是3、，若二次函数的图象经过两点. （1）请求出一次函数的表达式； （2）设二次函数的顶点为，求的面积. 解析：（1）求一次函数的表达式，需求两点坐标，而二次函数表达式已知，且经过两点，因此、两点坐标可求，求出两点坐标后，代入即可求出一次函数有表达式.对于（2），画出一次函数和二次函数的图象，观察家两个函数图象的位置，找到，发现三角形三边长均未知，因此考虑用间接法求其面积. 答案：（1）设点坐标为点坐标为. 两点在的图象上，.. 两点又在的图象上， 解得 一次函数的表达式是. （2）如下图所示，设直线与轴的交点为，则点坐标为. 过关自测 1.如下图所示，在轴上有两个.分别过点，点作轴的垂线，交抛物线于点，点.直线交直线于点，直线交直线交点，点，点的纵坐标分别记为. 特例探究： 填空：当时，= ，= ；当时，= ，= . 归纳证明： 对任意，猜想与的大小关系，并证明你的猜想.拓展应用： （1）若将“抛物线”改o “抛物线”，其他条件不变，请直接写出与的大小关系； （2）连接.当时，直接写出与的关系及四边形的形状. 答案：【探究】当时，、、、； 则直线；直线；[来源:Zxxk.Com] 、 ；即 同理：当时， 同理：当时，. 【归纳证明】 猜想：； 证明：点. 由抛物线的表达式知：、 设直线的表达式为，代入点的坐标：，即直线；同理：直线. 、，即. 【拓展应用】 （1）. （2）综合上面的结论，可得出、的纵坐标相同，即轴，则四边形是矩形；[来源:Z.xx.k.Com] ， ，即，得；；由于，且，所以四边形是平行四边形. 2.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象为下图中的（ ） 答案：C. 3.如下图所示，在抛物线上取三点.设、的横坐标分别为，直线与轴平行. （1）把的面积用表示； （2）当的面积为15时，求的值； （3）当的面积时，在直线上是否存在一点，使的面积为8？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）如下图所示，的图象关于轴对称，轴， 在中，上的高为， . （2）当时，解方程得或，由. （3）由（2）知，当时，点的坐标为，的边上的高为5， 中，边上的高为5，=8，. 设点的坐标为，则，解得