13 二次函数 y=ax2(a≠0）的性质-2019版九年级数学上册同步知识基础与提升（含视频讲解）

253.二次函数的性质 知识梳理： 1.二次函数的图象是 抛物线 ，它的顶点是 原点 ，对称轴是 y轴. 2.二次函数的图象与性质 图象 （1）开口方向 开口向上 开口向下 （2）顶点坐标[来源:Zxxk.Com] （0，0） （3）对称轴 y轴 （4）增减性 在对称轴的左侧即时，随的增大而减小；在对称轴右侧即时，随的增大而增大 在对称轴的左侧即时，随的增大而增大；在对称轴的右侧即时，随的增大而减小 （5）最值 当时， 当时， 3.理解要点:（1）判断二次函数的增减性的技巧是：从抛物线的对称轴分开，自左向右看“上坡路”就是随的增大而增大，“下坡路”就是随的增大而减小. （2）在二次函数中，的正负决定开口方向，决定开口的大小.越大，抛物线开口越小，反之，越小，抛物线开口越大. （3）二次函数与的图象关于轴对称. 典型题组： 1.已知函数，不画图象，回答下列问题. （1）开口方向： ；（2）对称轴： ；（3）顶点坐标： ；（4）当时，随的增大而 ；（5）当 时，；（6）当 时，函数的最 值是 . 解析：根据二次函数的性质直接作答. 答案：（1）向下 （2）轴 （3）（0，0） （4）减小 （5）=0 （6）=0；大；0 2.在同一坐标系中画出和的图象，正确的是下图中的（ ） 解析：当时，的图象上的对应点分别是（1，2），（1，），，可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除；在第一象限内，的对应点（1，2）在上，的对应点在下，排除A. 答案：D. 3.如图所示，矩形的长cm，宽cm，是的中点，以为顶点的抛物经经过、，以、为直径在矩形内画两个半圆，则图中阴影部分的面积为 . 解析：观察图形，根据二次函数图象的对称性可得图中阴影部分的面积等于小半圆的面积，其半径为的， cm，半径为1cm，其面积为：（cm2）. 答案： cm2. 4.已知函数是关于的二次函数. （1）求满足条件的值； （2）为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当为何植时，随的增大而增大？ （3）为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当为何值时，随的增大而减小？ 解析:（1）根据二次函数的定义的条件易求的值.（2）顶点是最低点，即函数图象开口向上，二次项系数为正数.（3）若函数有最大值.则该函数图象有最高点，开口向下，二次项系数为负数. 答案：（1）根据题意，得解得 当或时，原函为二次函数. （2）抛物线有最低的条件是它的开口向上，即，只能取这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为当时，抛物线有最小值为0，这时当时，随的增大而增大. （3）函数有最大值的条件是抛物线的开口向下，即，只能取.该二次函数的最大值为抛物线顶点搂纵坐标，顶点坐标为当时，抛物线有最大值为0，这时当时，随的增大而减小. 过关自测： 1.对于二次函数，下列命题中正确的是（ ）[来源:学科网ZXXK] A.函数图象开口方向不确定 B.当时，抛物线开口向下 C.此抛物线的对称轴是轴，顶点是坐标原点 D.当时，随的增大而增大 答案：C. 2.如下图所示，四个函数的图象，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 答案：A.[来源:Z#xx#k.Com] 3.如下图所示，边长为2的正方形的中心在直坐标系的原点轴，以为顶点且过两点的抛物线与以为顶点且过，两点的抛物线将正方形分割成八部分.则图中阴影部分的面积是 . [来源:学,科,网Z,X,X,K] 答案：2. 4.关于函数的性质的叙述，错误的是（ ） A.对称轴是轴 B.顶点是原点 C.当时，随的增大而增大 D.有最大值 答案：D. 5.已知点，在抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. [来源:学。科。网] 答案：D. $$