18 用待定系数法求二次函数的解析式-2019版九年级数学上册同步知识基础与提升（含视频讲解）

258.用待定系数法求二次函数的解析式 基础部分 知识梳理： 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： （1）若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式. （2）若给了同抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式. （3）若给出抛物线与轴交点或与轴的交点距离， 通常可设交点式. 典型题组： 1.<武汉>科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ …… 0 2 4 4.5 …… 植物每天高度增长量 /mm …… 41 49 49 41 25 19.75 …… 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种. （1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另一种函数的理由；[来源:Zxxk.Com] （2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果. 解析：由、的对应关系，易知是的二次函数可能性大. 答案：（1）选择二次函数，设， 得解得 关于的函数关系式是. 不选另外一个函数的理由：点等不在同一直线上， 所以不是的一次函数. （2）由（1），得，当时，有最大值50. 即当温度为℃时，这种植物每天高度增长量最大. （3）. 2.<宁波>如下图所示，已知抛物线与轴交于点，且过点. （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，，并写出平移后抛物线的解析式. 解析：（1）利用交点式得出，进而求出的值，再利用配方法求出顶点的坐标即可； （2）根据左加右减得出抛物线的解析式为，进而得出答案. 答案：（1）抛物线与轴交于点，可设抛物线解析式为，把代入得：，解得：， 故抛物线解析式为， 即，顶点坐标为；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为，平移后抛物线的顶点为，落在直线上. 过关自测： 1.已知二次函数，当时，；当时，；当时，.求这个二次函数的表达式. 答案：依题意：解得： . 2.如下图所示，已知两点，以为直径的半圆与正半轴交于点.求经过、、三点的抛物线的解析式. 答案：依题意，设这个二次函数的解析式为， 即. ，这个二次函数的解析式为，即. 3.对称轴平行于轴的抛物线过，且在轴上截得的线段长为3，求此函数的表达式. 答案：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为 和.设抛物线表达式为，把点代入表达式得：，即；，即. ，解得. 把分别代入，得，或.即或. 4.有一个二次函数的图象，两位学生分别说出了它的一些和持点：甲：对称轴是直线；乙：与轴的两个交点的横坐标都为整数；丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为. 请你写出满足上述特点的一个二次函数的解析式： . 答案：. 5.已知抛物线经过点、和原点.求此抛物线的解析式. 答案：设其解析式是，则由题意，得 解得 故此抛物线的解析式是. 提升部分 典型题组 1.已知二次函数，将其图绕坐标原点顺时针旋转后，所得到的抛物线与原抛物线的开口大小和形状相同，但开口方向盘和顶点坐标变化了，顶点横、纵坐标是原抛物线的顶点横、纵坐标的相反数. 答案：，该抛物线的顶点坐标为，相应的函数关系式为.即. 2.（1）已知二次函数，求该函数图象关于轴对称的图象的关系式. （2）求的图象关于轴对称的图象的关系式. 答案：（1）关于轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象顶点的纵坐标互为相反数. （2）关于轴对称的两抛物线路，图象的形状，开口方向相同，顶点的纵坐标相同，顶点的横坐标互为相反数. 答案：（1），顶点坐标为，其图象关于轴对称的图象的顶点坐标为，所以对称后的图象的关系为.（2）因为的图象的顶点为，其图象关于轴对称得到的图象的顶点坐标为，所以对称后得到图象的关系式为. 3.抛物线所对应的函数解析式，满足四个条件：. （1）求这条抛物线所对应的函数解析式并画出这条抛物线； （2）设该抛物线与轴的两个交点分别为、（在的左边），与轴的交点为是抛物线上第一象限的点，交轴于，试比较与的大小. 答案：（1），. ①当时，由 解得 或 ②当时，由解得或 和都不符合题意，舍付出. 即，所求抛物线所应的函数的解析式为，其图象如下图所示. （2）由，得到，如下图所示，故直线的解析式为，因此抛物线与直线的交点的横坐标