2019秋浙教版九年级数学上册教案：3.3　垂径定理 (2份打包)

3.3　垂径定理(一) 1．理解圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 2．掌握圆的性质(垂径定理)，并会用它解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算． 3．经历折纸、画图、归纳等过程，培养学生的探索能力和应用能力． 4．通过合作学习，探索圆的性质；让学生亲身体验、直观感知，并操作确认，激发学生自主学习和应用数学的意识． 重点：探索圆的轴对称性和圆的性质． 难点：垂径定理的导出过程有一定难度，是本节教学的难点． 一、新课导入 复习提问： (1)什么是轴对称图形？(教师回答) (2)正三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？(学生口头回答) (3)圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？——引入新课 说明：培养学生的动手操作能力，鼓励学生表达自己的想法． 二、新知学习 自主探索： 1．在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？ 2．结论：圆是__轴对称__图形，__每一条直径所在__的直线都是对称轴． 合作学习： [来源:学科网] 1．在圆形纸片(如图所示)上任意画一条直径CD，然后在CD上任意取一点E，过E画弦AB⊥CD于点E，把圆形纸片沿直线对折，观察直径CD两侧．你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？ 【解】点A与B重合，AE与BE重合；重合．与重合，与 2．请你用命题的形式表述你的结论．[来源:Z*xx*k.Com][来源:学科网ZXXK] 【解】命题：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 3．请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明． 【解】已知：如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，CD⊥AB，且交AB于点E. 【求证】AE＝BE，.＝，＝ 【证明】连结OA，OB. 如果把⊙O沿着直径CD对折，那么被CD分成的两个半圆互相重合． ∵∠OEA＝∠OEB＝90°， ∴EA与EB也重合， ∴点A与点B重合，即有AE＝BE，.＝，＝ 4．圆的性质(垂径定理)： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 概括性质：[来源:学.科.网] 1．直径垂直于弦⇒ 例如：CD是直径，AB⊥CD⇒AE＝BE，.＝，＝ 2．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．例如，上图中，点C是的中点．的中点，D是 说明：旨在通过折叠的方式，探索圆的性质(垂径定理)．教学时，应鼓励学生探索方法的多样性，在此基础上通过交流，使所有的学生都能有所收获． 三、新知应用 典例探究： 【例1】已知如图，用直尺和圆规求作这条弧的四等分点． 【分析】先作的中点．和的中点．同理，再作的交点即为的中点，由垂径定理联想到，只要作垂直于弦AB的直径，即作线段AB的中垂线，与 【解】如下图所示． 【作法】(1)连结AB，作AB的垂直平分线GH，交于点C. (2)连结AC，作AC的垂直平分线MN，交于点D. (3)连结BC，作BC的垂直平分线PQ，交的四等分点．于点E.点C，D，E就是所求的 说明：通过对问题的解决，培养学生的探索能力和应用能力． 【例2】如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于点M，CD＝15 cm，OM∶OC＝3∶5，求弦AB的长． 【分析】这是应用垂径定理进行计算的一道基础题，先求出OM的长，再根据勾股定理求得AM的长，最后由垂径定理得AB＝2AM. 【解】连结OA，则由垂径定理，得AM＝BM. ∵CD＝15 cm，∴OC＝7.5 cm，又∵OM∶OC＝3∶5，∴OM＝4.5 cm.在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM＝＝6 cm，即AB＝12 cm. 说明：圆中与半径、弦、弦心距有关的计算问题，常用垂径定理构造直角三角形(三边长为弦心距、弦长的一半、半径)解决． 四、巩固新知 尝试完成下面各题． 1．⊙O的半径为10 cm，弦AB＝12 cm，则圆心到AB的距离为( C ) A．2 cm　　　　　B．6 cm C．8 cm D．10 cm 2．已知⊙O的半径是5，弦AB＝8 cm，点P为弦AB上的一动点，则点P到圆心的最小距离是__3__cm__． ,(第2题图))　　,(第3题图)) 3．如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点(P与A，B不重合)，连结PA，PB，过O点作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF＝__5__． 4．如图所示，已知∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3 cm，DB＝10 cm，以BD为直径的⊙O交射线AP于点E，F，求圆心O到AP的距离以及EF的长． 解：如图，过点O作OG⊥EF于G，连结OE.∴EF＝2EG.∵DB＝10 cm，∴DO＝＝3 cm，∴EF＝2EG＝6 cm.＝DB＝5 cm，AO＝AD＋DO＝8 cm.在Rt△AGO中，∠PAC＝30°，AO