5.5～5.7 一次函数表达式 图像与一元二次方程及其应用-九年级下册初三数学【教材解读】(青岛版)

三第5章对函数的再探索 5.5确定二次函数的表达式 ☆必备知识点主干基础☆ 知识点用待定系数法求二次函数的表达式 ①二次函数常见的三种表达式 名称 般式 顶点式 交点式(拓展 特别提 已知 图象上三点坐标 图象的顶点坐标 图象与x轴两个 (1)与一次函数、反比例函数类 条件 (三对对应值) (对称轴和最值) 交点的横坐标 似,此处求二次函数表达式的方 法也是待定系数法,通常表达式 选用 V=ax+bx+c y=a(x-x1)(x-x2) 中有几个未知系数,就需要选取 几个条件来求出表达式 用待定系数法求二次函数的表达式的方法步骤 (2)一般来说求得的表达式要整 理成一般形式 设)根据给出的条件特征选设合适的函数表达式 把相关条件代入所设表达式,通过解方程(组)求得 求)待定系数 代)把求得的待定系数回代,求得表达式 【例】根据下列条件求二次函数的表达式 (1)抛物线的顶点为(-1,-3),与y轴的交点为(0,-5) (2)二次函数的图象经过点(-1,-6),(1,-2)和(2,3) 解:(1)因为抛物线的顶点为(-1,-3), 特殊位置抛物线的表达式 所以设其表达式为y=a(x+1)2-3 (1)当抛物线的顶点在原点时, 因为抛物线与y轴的交点为(0,-5) 拋物线的表达式为y=ax 所以-5=a-3所以a=-2 (2)当抛物线关于y轴对称(顶 所以抛物线的表达式为y=-2(x+1)2-3, 点在y轴上)时,b=0,抛物线 的表达式为y=ax2+c (2)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c (3)当抛物线经过原点时,抛物 因为二次函数的图象经过点(-1,-6),(1,-2)和(2,3), 线的表达式为y=ax2+bx (4)当抛物线顶点在x轴上时,抛 所以a+b+c=-2,解得{b=2 线的表达式为y=a(x-h)2 =-5. 所以二次函数的表达式为y=x2+2x 表材解读 数学九年级下册 ★考试这样考收藏存盘☆ 变式训练 ·题型一灵活选择二次函数的形式求表达式 个二次函数的图象经过点【例1】已知当x=4时,一二次函数有最小值一3,且它的图象与x轴 A(0,0),B(-1,-11),C(1, 交点的横坐标为7,求此二次函数的表达式 9)三点,则这个二次函数的表 审题关键:先把已知条件转化为图象上的关键点或确定图象上有关点 达式是 的坐标,再选择相应的函数表达式求解. A.y=-10x2+x 破题思路:由当x=4时,二次函数有最小值y B.y=-10x2+19x 3,得顶点坐标为(4,一3),对称轴为过点 C.y=10x2+x (4,-3)且平行于y轴的直线,抛物线的开口 向上.又知抛物线与x轴的一个交点的横坐 2.(一题多解)已知一条抛物线 标为7,即抛物线经过点(7,0).根据它的对称 与x轴两交点的横坐标分别 图5.5-1 是1,5,与y轴交点的纵坐标 性,得图象与x轴另一个交点的坐标为 (1,0),可以画出抛物线的草图(如图5.5-1所示).由获得的信息,知 是一5,试确定这条抛物线对 选用二次函数表达式的三种形式都可以求解 应的函数表达式 解:方法1:由题意,得抛物线的顶点坐标为(4,-3),可设二次函数的 表达式为y=a(x-4)2-3.又因为抛物线经过点(7,0),所以0= a(7-4)-3,解得a=3,所以此二次函数的表达式为y=3(x 4)2-3,即 方法2:由题意,得抛物线的顶点坐标为(4,-3),抛物线的对称轴是过点 (4,-3)且平行于y轴的直线,抛物线与x轴的一个交点为(7,0),由对 称性,知抛物线与x轴的另一个交点为(1,0)设二次函数的表达式为 16a+4b+c=-3, y=ax2+bx+c,则49+7b+c=0,解得b=-, a+brc=O 所以此二次函数的表达式为y=2x2-ax 方法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,由于当x=4时, 次函数有最小值-3,且抛物线经过点(7,0),因此有 求二次函数的表达式 时,要找到最适合 最简单的方法 4ac-b 3.解得b 49a+7b+c=0 所以此二次函数的表达式为y=3x9x+3 三第5章对函数的再探索 方法4由题意,得抛物线的顶点坐标为(4,-3),抛物线的对称轴3.(—题多解)已知抛物线在x 是过点(4,一3)且平行于y轴的直线,抛物线与x轴的一个交点为轴上所截线段的长为4顶点 (7,0),由对称性,知抛物线与x轴的另一个交点为(1.0.因此可设坐标为(2,4),求这条抛物线 二次函数的表达式为y=a(x-7)(x-1),将顶点坐标(4,-3)代对应的函数表达式 得-3=a(4-7)(4-1),解得a=所以此二次函数的表达式 为 7)(x-1),即 解后反思 题多法,提升思维 次函数的三种表达形式可以互相转化,同样,在给出条