2018-2019学年人教B版数学选修2-2(课件+练习）：2.3数学归纳法 (2份打包)

2.3　数学归纳法 1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1时,等式左边的项是(　　) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 解析:当n=1时,左边=1+a+a2.故选C项. 答案:C 2.对于不等式<n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当n=1时,<1+1,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即<k+1, 则当n=k+1时, < =(k+1)+1, ∴当n=k+1时,不等式成立. 上述证法(　　) A.过程全部正确 B.n=1时验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 解析:因为从n=k到n=k+1的证明过程中没有用到归纳假设,故从n=k到n=k+1的推理不正确. 答案:D[来源:学科网] 3.一个关于自然数n的命题,如果验证n=1时命题成立,并在假设n=k(k≥1)时命题成立的基础上,证明了n=k+2时命题成立,那么综合上述说法,可以证明对于(　　) A.一切自然数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 答案:B 4.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为(　　) A.f(k)+k B.f(k)+1 C.f(k)+k+1 D.kf(k) 解析:第k+1条直线与原来k条直线相交,最多有k个交点. 答案:A 5.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得(　　) A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立 解析:由反证法可知当n=4时该命题不成立,因为若n=4时该命题成立,必将推得n=5时该命题成立,这与已知矛盾. 答案:C 6.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证当n=　　　　时成立.  答案:3 7.用数学归纳法证明1++…+<n(n∈N且n>1),第二步证明从“k到k+1”,左端增加的项数是　　　　.  解析:当n=k时左端为1++…+, 当n=k+1时左端为1++…++…+,故增加的项数为2k项. 答案:2k 8.用数学归纳法证明34n+2+52n+1能被14整除的过程中,当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为　　　　　　　.  解析:当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=81×34k+2+25×52k+1=25(34k+2+52k+1)+56×34k+2. 答案:25(34k+2+52k+1)+56·34k+2 9.用数学归纳法证明:+…+<1-(n≥2,n∈N+). 证明:(1)当n=2时, 左边=,右边=1-,左边<右边,不等式成立; (2)假设当n=k时(k∈N+,k≥2)不等式成立. 即+…+<1-. 则当n=k+1时, +…+<1- =1- =1-<1- =1-, ∴当n=k+1时不等式也成立. 综合(1)(2)得,对任意n≥2的正整数,不等式均成立. 10.是否存在常数a,b使等式+…+对一切n∈N+都成立?[来源:Z#xx#k.Com] 解:假设存在常数a,b使等式成立,将n=1,n=2代入上式,有 即有+…+. 下面用数学归纳法证明: (1)n=1时,左边=, 右边=,所以等式成立. (2)假设n=k(k∈N+)时成立,即 +…+, 则当n=k+1时, +…+ = = =, 这就是说,当n=k+1时等式成立. 由(1)和(2)可知,等式对任何n∈N+都成立. 备选试题 1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为(　　) A.30 B.26 C.36 D.6 解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除. 证明:当n=1,2时,由上得证,假设当n=k(k≥2)时,f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2)⇒f(k+1)能被36整除. ∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求的最大的m的值等于36. 答案:C 2.已知a>0,b>0,n>1,n∈N+,用数学归纳法证明:. 证明:(1)当n=2时,左边=,右边=,左边-右边=≥0,不等式成立.[来源:学*科*网Z*X*X*K] (2)假设当n=k(k∈N+,k