2.3 数学归纳法（教案）-2020年高中同步教与学数学（人教B版选修2-2）

高中同步教与学·全新教案(活页) 第二章推理与证明 2.3数学归纳法(1课时 教学。目标》 意义 重点●难点 知识与技能 理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法的证题步骤 重点 过程与方法 数学归纳法 通过学习数学归纳法,体会用不完全归纳法发现规律,用数难点 学归纳法证明规律 用数学归纳法证明题目 情感、态度与价值观 通过数学归纳法的学习,开拓数学视野,体会数学的科学 《>案例(-)X 教学过程》 复习 答案(1)当n=1时,左边=1,右边=+[1+(-1)2(2× 1.数列的通项公式 2.综合法,分析法,反证法的证明 1+1)]=1,等式成立 [师]提出问题,让学生思考 假设当n=k时等式成立,即有 [生]思考回答 1-2+3-4+…+(-1)4+1·k=4[1+(-1)*(2k+1) 二、引入新课 )基本概念讲解 于是,当n=k+1时,则有 [师]请大家思考以前学习的归纳推理和完全归纳推理 1-2+3-4+…+(-1)4+1·k+(-1)(+1)+1(k+1) [生]思考回答 4[1+(-1)*(2k+1)]+(-1)+2(k+1)(归纳假设) 师生一起补充纠正 1.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下 [1+(-1)4+1(2k+1)+4(-1)4+2(k+1)] 面的方法来证明它的正确性:先证明当n取第一个值n。时命题 成立;然后假设当n=k(k∈N,k≥n)时命题成立,证明当 k+1时命题也成立,这种证明方法就叫做数学归纳法 4(1+(-1)++[2(k+1)+1 2.数学归纳法的基本思想:即先验证使结论有意义的最小 的正整数n,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(k≥n, 这就是说,当n=k+1时,等式也成立 k∈N)时,命题成立(这时命题是否成立不是确定的),根据这个 综上所述,等式对一切自然数n都成立 假设如能推出当n=k+1时,命题也成立那么就可以递推出对(2)当n=1时,左边=12=1,右边一 所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,…,命题都成立 原等式成立 3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤 (1)证明:当n取第一个值n0时结论正确 假定当n=k时,等式成立,即有 (2)假设当n=k(k∈N,且k≥n)时结论正确,证明当n 12-2+32-42+…(-1)2=1k2=(-1)2=1k(k+1 k十1时结论也正确 那么,当n=k+1时,则有 由(1,2)可知,命题对于从m开始的所有正整数n都1-2+32-42+…+(-1)k+(-1)(k+1) (-1)÷-1k(k+1) (-1)(k+1) (二)典型例题 例1用数学归纳法证明下面的等式 一k+2(k+1) (1)1-2+3-4+…+(-1)+1·n 1+(-1)+1(2n+1)] (2)12-22+32-42+…+(-1)”+1 此即n=k+1时,等式也成 1)-1n(n+1) 综上所述,原等式对一切自然数n都成立 [师]小结解题技巧 高中同步教与学·全新教案(活页 (1)数学归纳法中第一步中的是命题成立的起始值,故可为|f(k+1)=[2(k+1)+7]·3+1 1,也可大于1, (2k+7)+2]·3·34+9 (2)在证明n=k+1时,一定要用上归纳假设,否则就不是数 =3[(2k+7)·3+9]+18(31-1) 归纳法了在证明过程中要注意从k→k+1时命题中的项与项由归纳假设,3[(2k+7)·32+9能被36整除,当k为正整 数的变化 数时,3-1-1为偶数,则18(3*1-1)能被36整除.所以 例2求证:1~1 n+×/3(2k+7)·3+91+18(3-1-1)能被36整除,这就是说当 n=k+1时命题成立 由(1)、(2)知,对任意n∈N,f(n)都能被36整除 答案本题是一个与正整数n有关的命题,直接证明有困 当〃取大于36的正整数时,f(1)=36不能被m整除,所以 难,故可考虑数学归纳法 36为最大.即m=36 (三)课堂练习 (1)当n=1时,等式的左边=1-2=2;右边=2 学生动手做课堂练习 (2)假设当n=k时,等式成立,即1-1+1-1+…+1.用数学归纳法证明:.2+2.8+3.4+…+n(n+1 2kk+1k+2 +…+,则当n=k+1时 2.下列说法不正确的是(n为正整数) 3 2k-12k2k+12k+2k+1k+2 A.x2m-y2能被x+y整除 x”-y”能被x-y整除 2k+12k+2k+2k+3 故 C.n3+5n能被6整除 当n=k+1时,命题也成立 D.n3+(n+1)3+(n+2)3不一定能被9整除 综上可知,等式对于任意的n≥1都成立 三、课堂小结 例3是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3+9对 师]让学生回顾本节课的学习内容 任意正整数n,都