2018-2019学年人教B版数学选修2-2(课件+练习）：2.1　合情推理与演绎推理 (4份打包)

第二章　推理与证明 2.1　合情推理与演绎推理 2.1.1　合情推理 1.观察按下列顺序排列的等式: 9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想:第n(n∈N+)个等式应为(　　) A.9(n+1)+n=10n+9 B.9(n-1)+n=10n-9 C.9n+(n-1)=10n-1 D.9(n-1)+(n-1)=10n-10 答案:B 2.关于实数的二元一次方程的解是类比向量,则向量方程的解为(　　) A. B. C. D. 答案:A 3.观察下列式子:1+,1+,1+,…,由此可归纳出第n个式子为:1++…+<(　　) A. B. [来源:学*科*网] C. D. 解析:,因此可归纳第n个式子中不等号右边应为. 答案:D 4.有一个奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19},以此类推.试观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系为每组内各数之和等于(　　) A.n2 B.n3 C.n4 D.n(n+1) 解析:1=13; 3+5=8=23; 7+9+11=27=33; 13+15+17+19=64=43; … 猜想第n组各数之和应等于n3.所以选B项. 答案:B 5.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为　　　　　.  解析:类比即可得到,或者由正四面体体积公式V=a3也可得到. 答案:1∶8 6.给出若干数:,…,由此猜测第n个数为　　　　　.  解析:观察各数规律,猜测第n个数应为. 答案: 7.已知{bn}为等比数列,且b5=3,则b1b2b3…b9=39;若{an}为等差数列,且a5=3,则在{an}中类似的结论是　　　　.  解析:a1+a2+…+a9=9a5=9×3. 答案:a1+a2+…+a9=9×3[来源:学科网] 8.经计算发现下列正确的不等式:<2<2<2,…,根据以上不等式的规律,试写出一个对正实数a,b成立的不等式　　　　　.  解析:各不等式右边相同,左边两根号内的数之和为20,故当a>0,b>0,a+b=20时,有<2. 答案:若a>0,b>0,a+b=20,则<2 9.观察下列各式: 1=1, 1+, 1+, 1+. 由上述等式能得出怎样的结论?请写出结论,并证明.[来源:学科网] 解:通过观察上面给出的各个式子,可以发现这些等式中蕴涵的基本规律,这个规律可以用一个等式来表示,即 1++…+(n∈N+). 这一结论的证明如下: 由于=2, ∴1++…+ =2 =2. 10.我们已经学过了等比数列,你有没有想到是否也有等积数列呢? (1)类比“等比数列”,请你给出“等积数列”的定义. (2)若{an}是等积数列,且首项a1=2,公积为6,试写出{an}的通项公式及前n项和公式. 解:(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的乘积是同一个常数,那么这个数列叫做等积数列,其中,这个常数叫做公积. (2)由于{an}是等积数列,且首项a1=2,公积为6,所以a2=3,a3=2,a4=3,a5=2,a6=3,…,即{an}的所有奇数项都等于2,偶数项都等于3,因此{an}的通项公式为an= 其前n项和公式Sn= 11.如图,在长方形ABCD中,对角线AC与两邻边所成的角分别为α,β,且cos2α+cos2β=1,则在立体几何中,给出类比猜想. 解:由题图知,在长方形ABCD中,cos2α+cos2β==1. 于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ, 则cos2α+cos2β+cos2γ=1. 证明如下:如图, cos2α+cos2β+cos2γ = ==1. 备选试题 已知等式sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°=,sin26°+cos236°+sin 6°cos36°=.请写出一个具有一般性的等式,使你写出的等式包含已知的等式,并证明结论的正确性. 解:等式为sin2α+cos2(30°+α)+sin αcos(30°+α)=. 证明如下: sin2α+cos2(30°+α)+sin αcos(30°+α) =sin2α++sin α(cos 30°cos α-sin 30°sin α) =+sin2α+sin 2α-sin2α =+sin2α+sin 2α-sin2α[来源:学。科。网] =+sin2α+cos 2α-sin 2α+sin 2α-sin2α =+sin2α+sin2α-sin2α=. 因此有结论:sin2α+cos2(30°+α)+sin αcos(30°+α