江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一）数学试题（解析版）

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一） 数学Ⅰ参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 2． 3． 4． 5．40　 6． 　　　 7． 　8. 　 　 9． 10．3 11． 　　　　12． 13． 14． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（1）三棱锥 中， 　　　∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ ， …………………………3分 　　　∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． ……………………………………………………………6分 （2）∵ ， ， ， ∴ 平面 ， …………………………………………………………………8分 　　 ∵ 平面 ，∴ ， ………………………………………………10分 　　 ∵ 为 的中点，∴ ， ……………………………………12分 　　 ∵ ，∴ 平面 ． …………………………………………14分 16．（1）设向量 与 的夹角为 ， 　　因为 ， ，………………………4分 　　所以 EMBED Equation.DSMT4 ． …………………………………………………………7分 考虑到 ，得向量 与 的夹角 ． ………………………………………9分 （2）若 ，则 ，即 ， ………………………12分 因为 ， ， 所以 ，解得 ． ……………………………………………………14分 17.（1）以路AB所在的直线为 轴，抛物线的对称轴为 轴建立平面直角坐标系， …………………………………………………1分 　　则 ， ， ， …………………………………………………2分 ∵曲线段APB为抛物线的一段弧， ∴可以设抛物线的解析式为 ， 　　将点 代入得： ，解得 ， ………………………………4分 　　∴抛物线的解析式为 ， …………………………………………5分 　　∵点C在抛物线上，∴ ， ． ………………………6分 （2）设等腰梯形ABCD的面积为S， 则 ， ………………………………………………8分 　　 ， ………………………………………………9分 　　∵ ， ………………………10分 　　令 ，得 ， …………………………………………………………11分 m 增 极大值 减 　　 …………………………………………………13分 ∴当 时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为 平方米． …………14分 18． (1)设椭圆的半焦距为c，由已知得， 　　 ，则 ， ， ………………………………………3分 解得 ， ， ， …………………………………………………………5分 　　∴椭圆E的标准方程是 ． ………………………………………………6分 (2)由题意，设直线 的方程为 ，代入椭圆E的方程中，并化简得， 　　 ， …………………………………………………8分 　　设 ， ． 　　则 ， ， 　　因为PA( ，PB( ，……………………………………10分 　　所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 　　 EMBED Equation.DSMT4 ， ……………………………12分 　　同理，PC( PD( ， …………………………………………………14分 　　所以 ( 为定值． ………………………………………16分 19．（1） ， ， ， ………………………1分 　　 ， 代入 解得 ． ……………………………2分 （2）①∵ ，则 ． …………3分 　　令 ， 则 ， 在 单调递增， …………………………………5分 ， ………………………………………………………………6分 　　∴ ， 在 单调递增，∴ 的最大值为 ． …………8分 ②同理，单调递增函数 EMBED Equation.DSMT4 ， ……………………………9分 　　则 ． 若 ， ， ， 　　 EMBED Equation.DSMT4 ， 　　令 ， 　　则 ． 　　即 在 单调递减，∴ ，∴ ．……………11分 若 ， ， ， 由 知， ， 又 在区间 上是单调减函数， 所以 对 恒成立， 即 对 恒成立， 即 对 恒成立， 令 ， 记 ，又 ， 所以 在区间 上单调递减，