1.1.2 弧度制-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

1.1.2　弧度制 学习目标　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式． 知识点一　角度制与弧度制 思考1　在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 答案　周角的等于1度． 思考2　在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？ 答案　把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示． 思考3　“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ 答案　“1弧度的角”的大小等于长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 梳理　(1)角度制和弧度制 角度制 规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad，读作1弧度．用弧度作为单位来度量角的单位制称为弧度制 (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. 知识点二　角度制与弧度制的换算 思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ 答案　 利用1°＝ rad和1 rad＝°进行弧度与角度的换算． 梳理　(1)角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π 知识点三　扇形的弧长及面积公式 思考　扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 答案　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则： α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝|α|r 扇形的面积 S＝ S＝lr＝|α|r2 1.1 rad的角和1°的角大小相等．(　×　) 提示　1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝ rad. 2．用弧度来表示的角都是正角．(　×　) 提示　弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．(　√　) 提示　“1弧度的角”的大小等于长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 类型一　角度与弧度的互化 例1　将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 解　(1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－. (3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 反思与感悟　将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以°即可． 跟踪训练1　(1)把112°30′化成弧度； (2)把－化成度． 解　(1)112°30′＝°＝×＝. (2)－＝－°＝－75°. 类型二　用弧度制表示终边相同的角 例2　把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)；(3)－4. 解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角． (2)∵＝2π＋， ∴与终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． 反思与感悟　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练2　(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与角终边相同的角． 解　(1)∵－1 480°＝－1 480×＝－， 而－＝－10π＋，且0≤α≤2π，∴α＝. ∴－1 480°可写成＋2×(－5)π. (2)∵＝×°＝72°， ∴终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与角的终边相同的角为72°，432°. 类型三　扇形的弧长及面积公式的应用 例3　(1)若扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为 ． (2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为 ． 答案　(1)π　(2) 解