1.2.3 第1课时 诱导公式（一～四）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

1.2.3　三角函数的诱导公式 第1课时　诱导公式(一～四) 学习目标　1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． 设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)． 知识点一　诱导公式一 思考　终边相同角的三角函数值之间有什么关系？ 答案　终边相同角的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一 知识点二　诱导公式二 思考　如图，角－α的终边与单位圆的交点P1(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ 答案　 关于x轴对称． 梳理　 诱导公式二 知识点三　诱导公式三 思考　如图，角π－α的终边与单位圆的交点P2(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ 答案　 关于y轴对称． 梳理　 诱导公式三 知识点四　诱导公式四 思考　如图，角π＋α的终边与单位圆的交点P3(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ 答案　 关于原点对称． 梳理　 诱导公式四 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，π－α，π＋α的三角函数与α的三角函数值之间的关系，这四组公式的共同特点是： 2kπ＋α(k∈Z)，－α，π－α，π＋α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”． 1．诱导公式中角α是任意角．(　×　) 提示　正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义． 2．sin(α－π)＝sin α.(　×　) 提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. 3．cos π＝－.(　√　) 提示　cos ＝cos＝－cos ＝－. 4．诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用．(　×　) 提示　在角度制和弧度制下，公式都成立. 类型一　利用诱导公式求值 例1　求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°； (2)sin ； (3)sin； (4)cos(－1 920°)． 解　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－. (2)sin＝sin ＝sin＝sin ＝sin＝. (3)sin＝－sin ＝－sin＝－sin＝sin＝. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 反思与感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或二来转化． (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“角化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1　求下列各三角函数式的值． (1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)． 解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－. 方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－. (2)方法一　cos＝cos＝cos ＝cos＝－cos ＝－. 方法二　cos＝cos ＝cos＝－cos＝－. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 例2　已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ＝ . 答案　 解析　由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<， 可得－sin θ＝－cos θ，|θ|<， 即tan θ＝，|θ|<，∴θ＝. 反思与感悟　对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． 跟踪训练2　已知sin(π－α)＝－sin(π＋β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β. 解　由题意，得[来源:学+科+网] ①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， 即sin2α＋3(1－sin2α)＝2， ∴sin2α＝，∴sin α＝±. ∵0<α<π，∴sin α＝， ∴α＝或α＝π. 把α＝，α＝π分别代入②， 得cos β＝或cos β＝－.[来源:学§科§网Z§X§X§K] 又∵0<β<π，∴β＝或β＝