1.2.3 第2课时 诱导公式（五～六）-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

第2课时　诱导公式(五～六) 学习目标　1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力． 知识点一　诱导公式五 思考1　角与角的三角函数值有什么关系？ 答　sin＝cos ＝，cos ＝sin ＝. 思考2　角α的终边与角－α的终边有怎样的对称关系？ 答　关于直线y＝x对称． 梳理　诱导公式五 知识点二　诱导公式六 思考　能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？ 答案　 以－α代替公式五中的α得到 sin＝cos(－α)， cos＝sin(－α)． 梳理　诱导公式六[来源:学科网ZXXK] 知识点三　诱导公式的推广与规律 1．sin＝－cos α，cos＝－sin α， sin＝－cos α，cos＝sin α. 2．诱导公式记忆规律： 公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”． 六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式． 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号． 1．诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　×　) 提示　诱导公式五、六中的角α是任意角． 2．诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．(　√　) 提示　由诱导公式一～六可知其正确． 3．sin＝±cos α.(　×　) 提示　当k＝2时，sin＝sin(π－α)＝sin α. 4．口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．(　×　) 提示　应看原三角函数值的符号. 类型一　利用诱导公式求值 例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值； (2)已知cos＝，求cos·sin的值． 解　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝，又α为第一象限角， 则cos＝－sin α＝－ ＝－ ＝－. (2)cos·sin ＝cos·sin ＝－cos·sin ＝－sin ＝－cos＝－. 反思与感悟　对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 跟踪训练1　已知sin＝，求cos的值． 解　∵＋α＋－α＝，∴－α＝－. ∴cos＝cos ＝sin＝. 类型二　利用诱导公式证明三角恒等式 例2　求证：＝－tan α. 证明　∵左边＝ ＝ ＝ ＝＝－＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 反思与感悟　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子． (3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同． 跟踪训练2　求证：＝. 证明　因为左边＝ ＝ ＝＝ ＝＝. 右边＝＝. 所以左边＝右边，故原等式成立． 类型三　诱导公式在三角形中的应用 例3　在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状． 解　∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. ∵sin＝sin， ∴sin＝sin， ∴sin＝sin， 即cos C＝cos B. 又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B， ∴△ABC为等腰三角形． 反思与感悟　解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sin＝cos，cos＝sin. 跟踪训练3　在△ABC中，给出下列四个式子： ①sin(A＋B)＋sin C； ②cos(A＋B)＋cos C； ③sin(2A＋2B)＋sin 2C； ④cos(2A＋2B)＋cos 2C. 其中为常数的式子的序号是 ． 答案　②③ 解析　①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C； ②cos(A＋B)＋cos C＝－cos