1.3.1 三角函数的周期性-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

§1.3　三角函数的图象和性质 1.3.1　三角函数的周期性 学习目标　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期． 知识点一　周期函数 思考　单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由． 答案　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x，cos(2π＋x)＝cos x．故正弦函数和余弦函数也具有周期性． 梳理　(1)周期函数的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期． 知识点二　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 思考　6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？ 答案　是的．由sin(6π＋x)＝sin x恒成立，根据周期函数的定义，可知6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期． 梳理　(1)正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.[来源:学科网ZXXK] (2)正切函数的周期 正切函数是周期函数，最小正周期是π. (3)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝. 1．函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期函数．(　×　) 提示　周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(x＋T)＝f(x)，对于f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)，∴f(x)＝x2不是以6为周期的周期函数． 2．周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)．(　×　) 提示　周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界． 3．任何周期函数都有最小正周期．(　×　) 提示　常函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期． 类型一　求三角函数的周期 例1　求下列函数的周期： (1)y＝3sin； (2)y＝2cos； (3)y＝|sin x|. 解　(1)T＝＝＝4. (2)y＝2cos＝2cos， ∴T＝＝4π. (3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π. 验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的周期是π. 反思与感悟　求三角函数的周期，通常有三种方法： (1)定义法． (2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝. (3)观察法(图象法)． 跟踪训练1　(1)函数y＝3cos的最小正周期为________． (2)y＝2cos的最小正周期为π，则ω＝__________________________________. 答案　(1)4π　(2)±2 解析　(1)y＝3cos中ω＝，故T＝4π. (2)∵T＝＝π，∴ω＝±2. 类型二　利用周期求函数值 例2　若f(x)是以为周期的奇函数，且f ＝1，求f 的值． 解　∵f(x)是以为周期的奇函数， ∴f ＝－f  ＝－f ＝－f ＝f ＝f ＝－f ， 又∵f ＝1， ∴f ＝－f ＝－1. 反思与感悟　(1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值． (2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题． 跟踪训练2　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值． 解　∵f(x)是周期函数，且最小正周期为π， ∴f＝f＝f. ∵f(x)是偶函数， ∴f＝f. 当x∈时，f(x)＝sin x， ∴f＝sin ＝， ∴f＝f＝. 类型三　函数周期性的综合应用 例3　设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7)的值． 解　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，