1.3.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

1.3.2　三角函数的图象与性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象与性质 学习目标　1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.4.掌握正弦曲线、余弦曲线的性质． 知识点一　正弦函数图象 思考　如果有y＝sin x，x∈[0，2π]图象上的五个点，进行描点、连线，作出图象，那么哪五个点最关键？ 答案　(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 梳理　正弦曲线及作法 (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线．如图： (2)正弦曲线的作法 ①几何法——借助三角函数线． ②描点法——五点法． 用“五点法”画正弦曲线在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 知识点二　余弦函数图象 思考1　能否把正弦函数y＝sin x的图象转化为y＝cos x的图象？ 答案　能．把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． 思考2　如果用“五点法”作出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点应为什么？ 答案　(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 梳理　余弦曲线及作法 (1)余弦函数的图象叫做余弦曲线．如图： (2)余弦曲线的画法 ①要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度便可，这是由于cos x＝sin. ②用“五点法”画出余弦曲线y＝cos x在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点分别为：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 知识点三　正弦函数、余弦函数的性质 正、余弦函数的性质可从定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及最值等方面进行比较. 正弦函数 余弦函数 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 [来源:Zxxk.Com] 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在(k∈Z)上是单调增函数，在(k∈Z)上是单调减函数 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是单调增函数，在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是单调减函数 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 1．正弦函数y＝sin x的图象向左、右和上、下无限伸展．(　×　) 提示　正弦函数y＝sin x的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y＝1和y＝－1之间． 2．余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点．(　√　) 3．正弦函数在定义域上是单调函数．(　×　) 4．存在实数x，使得cos x＝.(　×　) 类型一　“五点法”作图的应用 例1　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解　(1)取值列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示． 反思与感悟　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法． 跟踪训练1　用“五点法”作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解　列表如下： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x 0 1 2 1 0 描点并用光滑的曲线连结起来，如图． 类型二　求正弦、余弦函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间． (1)y＝2sin； (2)y＝cos 2x. 解　(1)令z＝x－，则y＝2sin z. ∵z＝x－是单调增函数，∴y＝2sin z的单调增(减)区间即为原函数的单调增(减)区间， y＝2sin z在上是单调增函数， ∴原函数的单调增区间应满足 x－∈(k∈Z)， 即x∈(k∈Z)． 故函数y＝2sin的单调增区间为(k∈Z)， 同理可求函数y＝2sin的单调减区间为(k∈Z)． (2)由题意，令2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 故y＝cos 2x的单调增区间为(k∈Z)． 令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z， 得kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故y＝cos 2x的单调减区间为(k∈Z)． 反思与感悟　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式． 跟踪训练