1.3.2 第2课时 正切函数的图象与性质-【步步高】2019版学案导学与随堂笔记数学（苏教版必修4）

第2课时　正切函数的图象与性质 学习目标　1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法． 知识点一　正切函数的图象 思考　我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x，x∈的简图吗？怎样画？ 答案　能，三个关键点：，(0，0)，，两条平行线：x＝，x＝－. 梳理　(1)正切函数的图象叫正切曲线，图象如下： (2)正切函数的图象特征 正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的． 知识点二　正切函数的性质 思考1　正切函数的定义域是什么？ 答案　. 思考2　诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ 答案　 周期性． 思考3　诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ 答案　 奇偶性． 思考4　从正切线上看，正切函数是区间上的单调增函数吗？ 答案　是． 梳理　函数y＝tan x的图象与性质见下表： 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇 单调性 在开区间(k∈Z)上都是单调增函数 1．函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　×　) 提示　y＝tan x在开区间(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．(　×　) 提示　y＝tan x图象的对称中心是(k∈Z)． 3．正切函数y＝tan x无单调减区间．(　√　) 4．正切函数在区间上单调增．(　×　) 提示　正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x＝±时，y＝tan x无意义． 类型一　正切函数的定义域 例1　求下列函数的定义域． (1)y＝； (2)y＝lg(－tan x)． 解　(1)要使函数y＝有意义，必须且只需 所以函数的定义域为. (2)因为－tan x>0，所以tan x<. 又因为当tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)， 根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)， 所以函数的定义域是. 反思与感悟　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线． 跟踪训练1　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域． 解　由题意得即－1≤tan x<1. 在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又y＝tan x的周期为π， 所以函数的定义域是(k∈Z)． 类型二　正切函数的单调性及其应用 例2　求函数y＝tan的单调区间及周期． 解　y＝tan＝－tan， 由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－<x<2kπ＋π(k∈Z)， 所以函数y＝tan的单调减区间是 ，k∈Z，周期T＝＝2π. 反思与感悟　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 跟踪训练2　求函数y＝tan的单调区间．[来源:Zxxk.Com] 解　∵y＝tan x在区间上是单调增函数，∴－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z， 即－＋<x<＋，k∈Z. ∴函数y＝tan的单调增区间是 (k∈Z)． 例3　(1)比较大小： ①tan 32°________tan 215°； ②tan________tan. (2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为_______________________________________． (用“<”连接) 答案　(1)①<　②<　(2)tan 2<tan 3<tan 1 解析　(1)①tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y＝tan x在(0°，90°)上是单调增函数，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°. ②tan＝tan＝tan， tan＝tan＝tan， ∵y＝tan x在上是单调增函数， 且－<－， ∴tan<tan， 即tan<tan. (2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，[来源:Z§xx§k.Com] ∵－<2－π<3－π<1<， 且y＝tan x在上是单调增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1. 反思与感悟　运用正切函数的单调性比较大小的方法： (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 跟踪训练3　比较大小：tan________tan. 答案　> 解析